Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries

Exercice 3-1

Donner une base de $\operatorname {M} _{n}(K)$ constituée de projecteurs.

Solution

Une solution malheureusement difficile à intuiter : la base $(E_{i,i})_{1\leq i\leq n}\cup \left(E_{i,i}+E_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n\ j\neq i}$ convient.

Exercice 3-2

Soient $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$ (ou plus généralement, sur un corps de caractéristique différente de 2), $s:E\to E$ une symétrie, $f$ un vecteur de $E$ , et $f=g+h$ sa décomposition suivant la somme directe $E=\ker \left(s-\operatorname {Id} _{E}\right)\oplus \ker \left(s+\operatorname {Id} _{E}\right)$ . Exprimer $g$ et $h$ en fonction de $f$ et $s(f)$ .
Soient $D\subset \mathbb {R}$ tel que $-D=D$ , et $f:D\to \mathbb {R}$ . Déduire de la question précédente qu'il existe un unique couple de fonctions $g,h:D\to \mathbb {R}$ de somme $f$ tel que $g$ soit paire et $h$ impaire, et l'expliciter.

Solution

$g=p(f)$ et $h=q(f)$ avec $s=2p-\operatorname {Id} _{E}=\operatorname {Id} _{E}-2q$ , donc $p={\frac {\operatorname {Id} _{E}+s}{2}}$ , $q={\frac {\operatorname {Id} _{E}-s}{2}}$ , $g={\frac {f+s(f)}{2}}$ et $h={\frac {f-s(f)}{2}}$ .
On prend pour $E$ l'espace des fonctions de $D$ dans $\mathbb {R}$ et pour $s$ l'application (linéaire et involutive) qui à toute fonction $f\in E$ associe la fonction $x\mapsto f(-x)$ . L'unique solution $(g,h)$ est donnée par $g(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}$ et $h(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}$ .

Exercice 3-3

Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$ -espace vectoriel $E$ . On rappelle (voir cet exercice) que si

\forall x\in E\quad \exists \lambda \in K\quad f(x)=\lambda x

,

alors $f$ est une homothétie.

En déduire que si $f$ commute avec tous les projecteurs de $E$ , alors $f$ est une homothétie.

Solution

Soit $x\in E$ et soit $p$ un projecteur parallèlement à $\operatorname {Vect} (x)$ .

Par hypothèse, $p(f(x))=f(p(x))=f(0)=0$ donc $f(x)\in \operatorname {Vect} (x)$ , ce qui permet d'appliquer le rappel.

Exercice 3-4

Dans $\mathbb {R} ^{3}$ muni de sa base canonique ${\mathcal {E}}$ , on considère les trois vecteurs $v_{1}=e_{1}+e_{2}$ , $v_{2}=e_{1}-e_{2}$ et $v_{3}=e_{1}-e_{3}$ , le plan $H$ d'équation $x+y+z=0$ et la droite $D$ engendrée par $v_{1}$ .

1. Montrer que $H$ et $D$ sont supplémentaires.
2. En déduire que le triplet ${\mathcal {B}}:=(v_{1},v_{2},v_{3})$ est une base de $\mathbb {R} ^{3}$ .
3. Donner la matrice de passage $P$ de la base ${\mathcal {E}}$ à la base ${\mathcal {B}}$ et calculer son inverse.
On considère la projection $\pi$ sur le plan $H$ de direction $D$ . Donner la matrice de $\pi$ dans la base ${\mathcal {B}}$ , puis dans la base ${\mathcal {E}}$ .
Soient $H'$ $H'$ le plan engendré par $e_{2}$ $e_{2}$ et $v_{3}$ $v_3$ , $D'$ $D'$ la droite vectorielle engendrée par $v_{2}$ $v_{2}$ , et $\pi '$ $\pi '$ la projection sur $H'$ $H'$ de direction $D'$ $D'$ .
1. Calculer $\pi '(e_{1})$ et $\pi '(v_{1})$ .
2. Donner la matrice de $\pi '$ et de $f:=\pi '\circ \pi$ dans la base ${\mathcal {B}}$ .
3. En déduire que $f$ est une projection, dont on précisera le noyau, l'image et le rang.

Solution

1. $e_{1}+e_{2}\notin H$ .
2. $v_{2}$ et $v_{3}$ sont linéairement indépendants et appartiennent à $H$ .
3. $P={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$ . $e_{1}={\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}$ , $e_{2}={\frac {v_{1}-v_{2}}{2}}$ et $e_{3}=e_{1}-v_{3}={\frac {v_{1}+v_{2}-2v_{3}}{2}}$ donc $P^{-1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}$ .
$\operatorname {Mat} _{\mathcal {B}}(\pi )={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ donc $\operatorname {Mat} _{\mathcal {E}}(\pi )=P\operatorname {Mat} _{\mathcal {B}}(\pi )P^{-1}={\frac {1}{2}}P{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&-1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&-1\\0&0&2\end{pmatrix}}$ .
1. $e_{1}=v_{2}+e_{2}$ et $v_{1}=v_{2}+2e_{2}$ donc $\pi '(e_{1})=e_{2}$ et $\pi '(v_{1})=2e_{2}=v_{1}-v_{2}$ (on peut aussi déduire le second du premier : $\pi '(v_{1})=\pi '(e_{1})+\pi '(e_{2})=e_{2}+e_{2}$ ).
2. $\operatorname {Mat} _{\mathcal {B}}(\pi ')={\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ et $\operatorname {Mat} _{\mathcal {B}}(f)=\operatorname {Mat} _{\mathcal {B}}(\pi ')\operatorname {Mat} _{\mathcal {B}}(\pi )={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ .
3. $f$ est donc la projection (de rang $1$ ) sur la droite $\operatorname {im} f=\operatorname {Vect} (v_{3})$ , parallèlement au plan $\ker f=\operatorname {Vect} (v_{1},v_{2})$ .

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