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Soit . L'objet de ce devoir est de décomposer en produit d'une matrice orthogonale (unique si est inversible) et d'une matrice (symétrique) positive (toujours unique, et inversible si l'est).
- Montrer que est symétrique et positive.
- Elle admet donc une unique racine carrée symétrique positive, que l'on notera .
- Montrer que si avec orthogonale et symétrique positive, alors .
- Si (donc aussi ) est inversible, montrer que la matrice est orthogonale (ce qui conclut dans ce cas).
- En déduire (par densité) la conclusion voulue sans supposer inversible.
- Retrouver ce cas général en construisant directement (sans passer par le cas particulier inversible) une matrice orthogonale telle que .
Corrigé
- est clairement symétrique, et pour toute matrice colonne , .
- Si avec orthogonale et symétrique, alors , donc si de plus est positive alors (par unicité de la racine carrée symétrique positive) .
- .
- Soit une suite de matrices inversibles convergeant vers , et leurs décompositions polaires. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut supposer (quitte à extraire une sous-suite) que converge. La limite est alors orthogonale (par continuité de l'application ), et la limite des est symétrique positive (par continuité des applications et, pour toute matrice colonne , ).
- (On identifie ici tout endomorphisme de avec sa matrice dans la base canonique.) donc pour tout vecteur , (en particulier et ont même noyau). Par conséquent, il existe un isomorphisme isométrique tel que pour tout , . Par somme directe avec un isomorphisme isométrique arbitraire entre les orthogonaux de et , on obtient la matrice voulue.
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