Équation différentielle/Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées successives. L'équation y'=ay+b avec a et b réels est parmi les plus simples, mais aussi les plus importantes.

Équation différentielle y'=ay

Théorème

$a$ désigne un réel non nul.

Les solutions sur $\mathbb {R}$ de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions :

$f(x)=k\operatorname {e} ^{ax}$ où k est une constante réelle quelconque.

Démonstration

Il suffit de dériver une telle fonction pour voir qu'elle est solution.
Réciproquement, si on a une autre solution $g$ , on pose $\phi (x)=g(x)\operatorname {e} ^{-ax}$ .
En dérivant, on trouve que $\phi '(x)=0$ donc $\phi$ est constante et $g(x)$ est de la forme annoncée.

Solutions de l'équation y'=ay+b

Voir les exercices sur : Équations différentielles linéaires du premier ordre (Les 3 premiers exercices) et
l'exercice d'un sujet de bac S.

Théorème

$a\neq 0$ et $b$ désignent des réels.

Les solutions sur $\mathbb {R}$ de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions $f(x)=k\operatorname {e} ^{ax}-{\frac {b}{a}}$ , où k est une constante réelle quelconque.

Démonstration

Il est évident qu'une telle fonction est solution.
Réciproquement, si on a une autre solution $f(x)$ , posons $g(x)=f(x)+{\frac {b}{a}}$ . Alors $g$ est solution de l'équation sans second membre et d’après le théorème précédent, elle se ramène à la forme annoncée.

Exemples

Remarque : Dans les exemples, la fonction $f$ est souvent nommée $y$ , en omettant la variable $x$ .

Résoudre les équations suivantes :

$y'=y$ ;
$y'=-2y$ ;
$y'-2y=3$ ;
$5y'-2y=3$ .

Solution

$y'=y$ admet pour ensemble de solution $S=\left\{k\operatorname {e} ^{x}\mid k\in \mathbb {R} \right\}$ .
$y'=-2y$ admet pour ensemble de solution $S=\left\{k\operatorname {e} ^{-2x}\mid k\in \mathbb {R} \right\}$ .
$y'-2y=3$ admet pour ensemble de solution $S=\left\{k\operatorname {e} ^{2x}-{\frac {3}{2}}\mid k\in \mathbb {R} \right\}$ .
$5y'-2y=3\Leftrightarrow y'={\frac {2}{5}}y+{\frac {3}{5}}$ admet pour ensemble de solution $S=\left\{k\operatorname {e} ^{{\frac {2}{5}}x}-{\frac {3}{2}}\mid k\in \mathbb {R} \right\}$ .

La condition initiale

Le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit à la définir parfaitement.

Le sens physique de cette remarque est très intuitif : un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre $f(x)$ qui dépend de la variable $x$ (en général le temps).

La connaissance de cet état à un instant donné (disons l'instant $x=0$ par exemple) détermine l'état du système à tout instant.

C'est ce qu'on appelle la condition initiale.

Cas particulier d'un théorème de Cauchy

Deux nombres réels $x_{0}$ et $y_{0}$ étant donnés, il existe une unique solution $f$ de l'équation $y'=ay+b$ vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$ .

Démonstration

La donnée de $x_{0}$ et $y_{0}$ suffit à fixer un unique $k$ .

Exemples

Résoudre les équations suivantes :

$y'=y,\quad y(0)=1$ ;
$y'=-2y,\quad y(1)=3$ ;
$y'-2y=3,\quad y(0)=3$ ;
$5y'-2y=3,\quad y(-2)=0$ .

Solution

Avec les solutions précédemment trouvées :

$y'=y$ : la condition $y(0)=1$ impose $k\operatorname {e} ^{0}=1$ c'est-à-dire $k=1$ d'où la solution unique $y=\operatorname {e} ^{x}$ ;
$y'=-2y$ : la condition $y(1)=3$ impose $k\operatorname {e} ^{-2}=3$ c'est-à-dire $k=3e^{2}$ d'où la solution unique $y=3\operatorname {e} ^{2(1-x)}$ ;
$y'-2y=3$ : la condition $y(0)=3$ impose $k\operatorname {e} ^{0}-{\frac {3}{2}}=3$ c'est-à-dire $k={\frac {9}{2}}$ , d'où la solution unique $y={\frac {9}{2}}\operatorname {e} ^{2x}-{\frac {3}{2}}$ ;
$5y'-2y=3$ : la condition $y(-2)=0$ impose $k\operatorname {e} ^{\frac {-4}{5}}-{\frac {3}{2}}=0$ c'est-à-dire $k={\frac {3}{2}}\operatorname {e} ^{\frac {4}{5}}$ , d'où la solution unique $y={\frac {3}{2}}\left[\operatorname {e} ^{{\frac {2}{5}}(x+2)}-1\right]$ .

Exemple en physique : vitesse terminale

Considérons un objet de masse m en chute libre.

Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :

le poids : $P=...$ ;
le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v.
Le coefficient de frottement est noté h, donc

$F=...$ .

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

...=...

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Solution

Le poids : $P=m\times g$ .
Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v, le coefficient de frottement est noté h, donc
$F=-h\times v$ .

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

mv'=-hv+mg

.

En supposant que l’objet est lâché sans vitesse initiale, l'objectif est de donner la solution $v(t)$ exprimant la vitesse du corps en fonction du temps t. Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

...=0

.

La solution est de la forme :

v(t)=...

.

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire $v(0)=...$ . Cela donne pour la solution générale :

...=...

.

La solution finale au problème est donc :

v(t)=...

.

Solution

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

v'+{\frac {h}{m}}v-g=0

La solution est de la forme :

v=Ae^{-{\frac {h}{m}}t}+{\frac {gm}{h}}

.

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre A, qui doit alors vérifier :

0=A+{\frac {gm}{h}}

.

La solution finale au problème est donc :

v\left(t\right)={\frac {gm}{h}}\left(1-\operatorname {e} ^{-{\frac {h}{m}}t}\right)

.

Application numérique : tracer v en fonction de t pour $m=0{,}00416,h=3{,}4\times 10^{-6},g=9{,}81$ .

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