Résolutions simples
Équations homogènes à coefficients constants
1. Déterminer la solution générale de l'équation
2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale :
Équations avec second membre à coefficients constants
1. Déterminer la solution générale de l'équation
2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale :
Équations à coefficients constants avec second membre variable
1. Déterminer :
- a) la solution générale de l'équation ;
- b) la solution unique vérifiant la condition initiale : .
a) Les solutions de l'équation différentielle homogène : sont : .
- Par ailleurs, l'équation a une unique solution particulière polynomiale, de degré 1, .
- donc .
- La solution générale de l'équation est par conséquent :
b) Elle vérifie donc la condition initiale équivaut à . L'unique solution est alors :
- .
2. Déterminer :
- a) la solution générale de l'équation .
- b) la solution unique vérifiant la condition initiale : .
a) Les solutions de l'équation différentielle homogène : sont : .
- Par ailleurs, l'équation a une unique solution particulière polynomiale, de degré 2, .
- donc .
- La solution générale de l'équation est par conséquent :
- .
b) Elle vérifie donc la condition initiale équivaut à . L'unique solution est alors :
- .
3. Soient et un polynôme de degré . On considère l'équation .
- a) À quelle condition sur la fonction est-elle solution de ?
- b) On suppose . Montrer que l'application est linéaire, injective et surjective. En déduire que admet une solution particulière de la forme avec polynôme de même degré que .
- c) On suppose . Montrer que admet une solution particulière de la forme avec polynôme, et préciser le degré de .
a) .
b) L'application est linéaire, comme combinaison linéaire des deux applications linéaires et . Elle est injective car son noyau est réduit à 0 (un polynôme n'est multiple de son polynôme dérivé que s'il est nul). Elle est donc surjective, d'après le théorème du rang. Il existe donc un unique polynôme antécédent de par cette application, c'est-à-dire une unique solution de de la forme avec polynôme de degré inférieur ou égal à . Par ailleurs, un polynôme vérifiant est nécessairement de même degré que .
c) Les solutions de sont des polynômes de degré .
Équations homogènes à coefficients variables
1. a) Déterminer la solution générale de l'équation .
- b) Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .
a) L'équation est de la forme , avec et . On applique le théorème du cours : une primitive de est donc la solution générale est
- .
b) donc la condition initiale, , équivaut à .
- La solution unique vérifiant la condition initiale est donc :
- .
2. On considère l'équation .
- a) Résoudre sur , puis sur . Vérifier que sur chacun de ces intervalles, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 1.
- b) Résoudre le problème de Cauchy associé sur avec la condition initiale : .
- c) Résoudre sur . Vérifier que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
- d) Résoudre le problème de Cauchy associé sur avec la condition initiale : .
a) L'équation est de la forme , avec et . On applique le théorème du cours : tant sur que sur , une primitive de est donc la solution générale est
- ,
- ou encore (en posant ou , selon que l'intervalle considéré est ou ) :
- .
- C'est bien une droite vectorielle, engendrée par la solution .
b) donc la condition initiale, , équivaut à .
- La solution du problème de Cauchy sur est donc :
- .
c) Une solution de sur est une fonction dérivable sur , de la forme sur et sur , et telle que c'est-à-dire .
- Quel que soit le choix des deux constantes et , la fonction définie ainsi est bien dérivable (et même de classe C2) sur (y compris en 0).
- L'ensemble des solutions est donc un plan vectoriel, engendré par exemple par et .
d) donc le problème de Cauchy sur avec condition initiale n'a pas de solution.
Équations à coefficients variables avec second membre
1. a) Déterminer la solution générale de l'équation .
- b) Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : .
a) L'équation a une solution triviale : . L'équation homogène associée a pour solutions (cf. exercice précédent) . Les solutions de l'équation avec second membre sont donc :
- .
b) donc la condition initiale, , équivaut à . La solution unique vérifiant la condition initiale est donc :
- .
2. On considère l'équation .
- a) Résoudre l'équation homogène associée à sur , puis sur .
- b) Utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver la solution générale de sur .
- c) Déterminer la solution générale de sur .
- d) Déterminer la solution générale de sur .
a) L'équation homogène est de la forme , avec et . On applique le théorème du cours :
- sur , une primitive de est donc la solution générale est
- ;
- sur , une primitive de est donc la solution générale est
- .
- sur , une primitive de est donc la solution générale est
b) Cherchons les solutions de sur sous la forme .
- L'équation sur équivaut à l'équation suivante sur : , c'est-à-dire .
- On calcule les primitives de par changement de variable et double intégration par parties, et l'on trouve :
- .
- La solution générale de sur est donc :
- .
c) De même, en cherchant les solutions de sur sous la forme ,
- l'équation sur équivaut à , et l'on trouve :
- donc
- .
d) Une solution de sur est une fonction dérivable sur , de la forme
- sur et sur ,
- et telle que c'est-à-dire , ce qui impose (par continuité en 0) et .
- La seule solution possible est donc :
- En , cette fonction est non seulement continue (par construction) mais dérivable et même de classe C1, d'après le théorème « limite de la dérivée ». En effet :
- ;
- .
- Donc est bien une solution (la seule) de sur .
3. Résoudre : , en supposant .
, , , , .
.
.
4. Résoudre : .
, , , , .
.
Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme .
Par variation de la constante, les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme
avec fonction solution de , c'est-à-dire
donc .
La condition initiale équivaut alors à donc à , et la solution correspondante est donc .
5. Résoudre : .
, , , , .
.
Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme .
Par variation de la constante, les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme
avec fonction solution de , c'est-à-dire
donc .
La condition initiale équivaut alors à donc à , et la solution correspondante est donc .
Résolutions générales d'équations complètes
Intégrer les équations suivantes :
1.
2.
3.
4. , où est un réel donné.
5.
6.
7.
1.
Mettons l'équation sous forme normale :
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Résolution de l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant
- Or
Donc |
2.
Mettons l'équation sous forme normale : que l’on résout sur par exemple (problème de définition en 0)
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Résolution de l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant
- Or
Donc |
3.
Mettons l'équation sous forme normale : que l’on résout sur par exemple (problème de définition en –1 et 1)
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
est solution constante évidente.
Donc |
4. , où est un réel donné.
Mettons l'équation sous forme normale : que l’on résout sur par exemple (problème de définition en –1 et 1)
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
est solution constante évidente.
Donc |
5.
Mettons l'équation sous forme normale : que l’on résout sur par exemple (problème de définition en –1 et 1)
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant
- car
- On pose
- Alors
Donc |
6.
L'équation est sous forme normale. On la résout sur par exemple (problème de définition en 0).
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- On pose .
en est une primitive.
- Donc
- Résolution de l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant
- Or
Donc |
7. . L'équation n'a de sens que sur .
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- Une primitive de
- .
- est
- .
- Les solutions de l'équation homogène sont donc :
- Résolution de l'équation complète :
- On applique la méthode de la variation de la constante en posant . On a alors, sur ou :
- .
- Recollement en 0 :
Si alors donc pas de recollement continu. En revanche, si alors donc recollement C1 : .
Problème de la fourmi sur un élastique
![](../../../I/Ant_on_tree.jpg.webp)
Un élastique, de longueur initiale , a une extrémité fixe et une extrémité mobile , qui s'éloigne de , sur , à une vitesse constante . Une fourmi, initialement en , marche sur l'élastique à vitesse constante . Arrivera-t-elle au bout de l'élastique ?
Un point de l'élastique d'abscisse initiale aura pour abscisse, à l'instant : , donc pour vitesse .
Soit l'abscisse de la fourmi à l'instant . Sa vitesse absolue est alors . La fonction est donc la solution du problème de Cauchy
- .
Les solutions de l'équation homogène associée sont . Les solutions de l'équation complète sont donc , avec , et celle nulle en 0 correspond à , soit . La fourmi atteint l'extrémité lorsque , c'est-à-dire , soit .
Système différentiel à coefficients constants
Système homogène, matrice diagonalisable
Soit . Résoudre .
donc les valeurs propres sont , et . Une base propre est (dans le même ordre) avec
- .
Les solutions sont donc .
Résoudre le problème de Cauchy
- ,
où
- et .
Les valeurs propres de sont , de vecteurs propres associés :
- .
Les solutions complexes de sont les fonctions de la forme
- ,
qui forment un -espace vectoriel de dimension 4. Le -sous-espace vectoriel de dimension 4 des solutions réelles est
- .
Plus explicitement, les solutions réelles sont
- .
- (ou encore, sans passer par les solutions réelles : )
donc la solution du problème de Cauchy est
- .
Système non homogène, matrice diagonalisable
Résoudre le système différentiel :
- .
Le système équivaut à avec .
a pour valeurs propres et , de vecteurs propres associés, respectivement : et .
La solution générale du système homogène est donc : .
La solution particulière polynomiale du système est : avec . En résolvant, on trouve .
La solution générale est donc : .
Résoudre le système différentiel
d'inconnue , où
- et .
Les valeurs propres de sont , de vecteurs propres associés
- .
La solution générale du système homogène est donc
- , avec .
Puisque , la solution particulière polynomiale du système non homogène est
où sont les polynômes tels que et , c'est-à-dire et , soit
et la solution générale est (avec ).
Système homogène, matrice non diagonalisable
Soit . Résoudre .
est valeur propre double de , de vecteur propre associé
- .
En posant par exemple
- ,
on obtient une famille libre donc base de , dans laquelle la matrice de l'endomorphisme est triangulaire :
- donc .
est solution de si et seulement si . On résout donc le système dans cette base :
puis on revient à la base canonique :
- .
Soit . Résoudre .
donc les valeurs propres sont (simple) et (triple).
La droite est engendrée par .
Le sous-espace propre est le plan vectoriel engendré par et .
Pour former une base de dans laquelle la matrice de l'endomorphisme associé à soit la plus simple possible, on cherche un vecteur tel que appartienne à ce plan. Le plus simple est , et l'on a alors .
En résumé :
- , , , et .
Les solutions sont donc avec , c'est-à-dire
- (avec ), soit
- .
Courbes et équations différentielles
Soit et . On considère le système différentiel
- .
Le but est de tracer dans le plan la trajectoire de la solution
- .
Le cas où la matrice A est diagonale
On considère
- .
Tracer l'allure de la courbe dans les cas suivants :
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) .
Le cas où la matrice A est diagonalisable dans
On suppose que a deux valeurs propres réelles distinctes, et donc on est dans un des cas précédents, au niveau des valeurs propres. Quelle allure auront les trajectoires ?
Même allure, en se plaçant dans une base propre.
Le cas typique où la matrice A est diagonalisable dans
Soient et . On considère
- .
a) Déterminer les valeurs propres de .
b) Montrer que la solution est
- ,
où désigne la rotation d'angle .
En déduire l'allure de la solution .
a) .
b) On vérifie sans peine que la fonction proposée est bien solution de .
La courbe est donc une spirale logarithmique.