${\displaystyle y'+\cos(y)=0}$ n’est pas une équation linéaire.

Une équation différentielle est une équation de la forme

(eq) : ${\displaystyle y'=f(t,y)}$

avec ƒ une fonction de ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} \times E}$ dans E, un espace vectoriel normé.

On dira que ${\displaystyle \phi }$ fonction dérivable de I (intervalle de R) dans E est une solution de (eq) si pour tout t appartenant à I, ${\displaystyle {\begin{cases}(t,\phi (t))\in A\\\phi '(t)=f(t,\phi (t))\end{cases}}}$

(Avec les mêmes notations)

On dit que ${\displaystyle \phi }$ est une solution maximale s'il n'existe pas d'intervalle J contenant strictement I et ${\displaystyle \psi }$ soit une solution définie sur J telle que ${\displaystyle \phi =\left.\psi \right|_{I}}$.

• Toute solution de (E) se prolonge en une solution maximale.
• Une solution maximale est forcément définie sur un ouvert.
• Problème de Cauchy :

Soit ${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in A}$, il existe une unique solution maximale telle que ${\displaystyle \phi (t_{0})=y_{0}}$.

• Si deux solutions maximales sont égales en un point, elles sont égales en tout point.