Trompette de Gabriel

La trompette de Gabriel est engendrée par une portion d'hyperbole d'équation

${\displaystyle y={\frac {1}{x}}\,}$

tracée sur l'intervalle [${\displaystyle 1;+\infty [}$ et tournant autour de l'axe (Ox).

Extrémité gauche de la Trompette de Gabriel

Son volume est donné par la formule :

${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=\pi }$

et l'aire de la portion de trompette entre x = 1 et x = a (a > 1) est donnée par la formule suivante, qui diverge quand a tend vers ${\displaystyle +\infty }$ :

${\displaystyle A=2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x>2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \ln(a).}$

Calcul du volume (étape 1)

Calcul du volume (étape 2)

Calcul du volume (étape 3)

La trompette de Gabriel fut étudiée par Torricelli qui l'appelle le « solide hyperbolique aigu »[1]. Vers 1641, à une époque où le calcul intégral n'existe pas, il démontre que son volume est identique à celui d'un cylindre en utilisant la méthode des indivisibles développée par Cavalieri. Pour cela, il complète la trompette par un « bouchon », découpe son volume en cylindres concentriques. Il déploie alors les cylindres en rectangles comme on déroule des billes de bois. Chaque rectangle a pour dimension x × 2πy, comme xy est constant, tous les rectangles ont la même aire. Il déforme alors chaque rectangle en disque d'aire 2π. Il obtient ainsi un cylindre de hauteur 1 et de surface de base égale à 2π, donc de volume égal à 2π. Il lui suffit alors d'enlever le volume du «bouchon» pour trouver le volume de la sa trompette : π. Il double sa démonstration par un raisonnement par exhaustion. Roberval, par la suite, fournit une démonstration que Torricelli reconnait être plus ingénieuse[2].

Qu'un solide de longueur infinie puisse posséder un volume fini semble contre-intuitif aux mathématiciens de l'époque et suscite de nombreuses correspondances sur le sujet du fini et de l'infini[3]. Cavalieri s'en étonne, et Roberval met d'abord en doute le résultat de Torricelli[3]. Ce résultat suscite l'admiration de Gassendi. Il remet en cause la définition du solide chez Barrow et Mersenne. Il inspire à Pascal cette réflexion : « Incompréhensible. Tout ce qui est incompréhensible ne laisse pas d'être. Le Nombre infini. Un espace infini égal au fini. »[2] Le père Pardies, dans la préface de ses Elemens de Geométrie en 1671, en fait une preuve de l'existence de Dieu[3]. Ce résultat déstabilise Descartes dans ses convictions sur l'infini et suscite un débat entre Hobbes et Wallis[3].

Ce solide présente aussi un second paradoxe apparent puisque sa surface est infinie. Il suffit donc d'un volume fini pour en remplir son intérieur alors qu'il faudrait une quantité infinie de peinture pour en couvrir seulement la surface. Ce paradoxe montre les limites de l'association surface=quantité de peinture nécessaire pour la peindre. En effet, la quantité de peinture suppose que la surface soit peinte sur une épaisseur e. Lorsque l'on peint l'intérieur de la trompette, il arrive un moment où le rayon intérieur devient inférieur à e. Alors on s'arrête de peindre tandis que la surface continue à se déployer indéfiniment.

À la même époque, Huygens et Sluse, étudiant la cissoïde, prouvent l'existence d'un récipient de volume fini et pouvant contenir un volume infini[4]^,[5]. En revanche, il est prouvé qu'un volume infini ne peut pas avoir une surface finie.

• Méthode des indivisibles
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