Théorie de la stabilité

Soit ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ une fonction continûment différentiable avec un point fixe ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle f(a)=a}$. Considérons le système dynamique obtenu par itération de la fonction ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),~~~~~~n=0,1,2,\ldots }$

Le point fixe est stable, lorsque la valeur absolue de la dérivée de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$ est strictement inférieure à 1, et instable si elle est strictement supérieure à 1. C'est parce qu'au voisinage du point a, la fonction ${\displaystyle f}$ est une approximation linéaire avec une pente ${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}$

ainsi

${\displaystyle {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}={\frac {f(x_{n})-a}{x_{n}-a}}\approx {\frac {f'(a)(x_{n}-a)}{x_{n}-a}}=f'(a),}$

ce qui signifie que la dérivée mesure le taux auquel les itérations successives se rapprochent du point fixe ${\displaystyle a}$ ou s'en écartent. Si l'instrument dérivé à exactement 1 ou -1, plus d'information est nécessaire afin de décider de la stabilité.

Il existe un critère analogue à un schéma continûment différentiable ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ avec un point fixe ${\displaystyle a}$, exprimée en termes de sa matrice jacobienne en ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle J=Ja(f)}$. Si toutes les valeurs propres de ${\displaystyle J}$ sont des nombres réels ou complexes de module strictement inférieur à 1 alors ${\displaystyle a}$ est un point fixe stable ; si au moins l'une d'entre elles a un module strictement supérieur à 1, alors ${\displaystyle a}$ est instable. Tout comme pour ${\displaystyle n=1}$, le cas où toutes les valeurs propres sont de module 1 doit être étudié davantage - le test de la matrice jacobienne est non concluant. Le même critère tient plus généralement pour les difféomorphismes d'une variété lisse.

La stabilité des points fixes d'un système des équations différentielles linéaires de premier ordre à coefficients constants peut être analysée en utilisant les valeurs propres de la matrice correspondante.

Un système autonome :

${\displaystyle x'=Ax,}$

où ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ et ${\displaystyle A}$ est une matrice ${\displaystyle n\times n}$ à coefficients réels, ayant une solution constante

${\displaystyle x(t)=0}$

(Autrement dit, l'origine ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ est un point du système dynamique correspondant à l'équilibre.) Cette solution est asymptotiquement stable quand ${\displaystyle t\rightarrow +\infty }$ (« au futur ») si et seulement si pour toutes les valeurs propres ${\displaystyle \lambda }$ de ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle Re(\lambda )<0}$. S'il existe un ${\displaystyle \lambda }$ valeur propre de ${\displaystyle A}$ à ${\displaystyle Re(\lambda )>0}$ alors la solution est instable pour ${\displaystyle t\rightarrow +\infty }$. De même, il est asymptotiquement stable quand ${\displaystyle t\rightarrow -\infty }$ ("dans le passé") si et seulement si pour toutes les valeurs propres ${\displaystyle \lambda }$ de ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle Re(\lambda )>0}$.

L'application de ce résultat dans la pratique, afin de décider la stabilité de l'origine pour un système linéaire, est facilitée par le critère de stabilité de Routh-Hurwitz. Les valeurs propres d'une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique. Un polynôme à une variable à coefficients réels est dit un polynôme de Hurwitz si les parties réelles de toutes les racines sont strictement négative. Le théorème de Routh-Hurwitz implique une caractérisation des polynômes de Hurwitz au moyen d'un algorithme qui permet d'éviter le calcul de la racine.

La stabilité asymptotique de points fixes d'un système non linéaire peut souvent être établie en utilisant le théorème de Hartman-Grobman.

Supposons que ${\displaystyle v}$ est un champ de vecteurs de classe ${\displaystyle C^{1}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ qui s'annule en un point ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle v(p)=0}$. Alors le système autonome correspondant

${\displaystyle x'=v(x)}$

possède une solution constante

${\displaystyle x(t)=p}$

Soit ${\displaystyle J=J_{p}(v)}$ la matrice jacobienne ${\displaystyle n\times n}$ du champ de vecteurs ${\displaystyle v}$ au point ${\displaystyle p}$. Si toutes les valeurs propres de ${\displaystyle J}$ sont à partie réelle strictement négative, alors la solution est asymptotiquement stable. Cette condition peut être testée en utilisant le critère de Routh-Hurwitz.

• Équation de Orr-Sommerfeld
• Stabilité de Von Neumann
• Stabilité linéaire (en)
• Exposant de Lyapunov
• Stabilité orbitale (en)
• Stabilité structurelle (en)
• Hyperstabilité (en)
• Rayon de la stabilité (en)

• (en) Philip Holmes (en) et Eric T. Shea-Brown, « Stability », sur Scholarpedia
• (en) Michael Schreiber, « Stable Equilibria », sur The Wolfram Demonstrations Project

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