Point fixe
En mathématiques, pour une application f d'un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.
Pour l’article homonyme, voir Point fixe (aéronautique).
Exemples :
- dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ;
- l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, car et .
Graphiquement, les points fixes d'une fonction f (d'une variable réelle, à valeurs réelles) s'obtiennent en traçant la droite d'équation y = x : tous les points d'intersection de la courbe représentative de f avec cette droite sont alors les points fixes de f.
Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x ↦ x + 1 n'en possède pas, car il n'existe aucun nombre réel x égal à x + 1.
Pour une fonction f définie sur E et à valeurs dans , un point fixe est un élément x de E tel que , comme dans le théorème du point fixe de Kakutani.
Point fixe et suites récurrentes
On considère une fonction continue f : E → E et (un) une suite récurrente définie par sa valeur initiale u0 et par la relation de récurrence un+1 = f(un). Si (un) converge vers un élément l de E[1], la limite l est nécessairement un point fixe de f.
Une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.
Point fixe attractif
Un point fixe attractif d'une application f est un point fixe x0 de f tel qu'il existe un voisinage V de x0 sur lequel la suite de nombres réels
( pour tout x dans le voisinage V ) converge vers x0.
Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe, qui est attractif.
Cependant, tous les points fixes d'une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle x ↦ x2 + x possède un unique point fixe en 0, qui n'est pas attractif.
Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d'attracteur.
Théorèmes du point fixe
Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu'une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :
Théorème du point fixe de Banach — Soient E un espace métrique complet et f : E → E une application contractante (c'est-à-dire k-lipschitzienne pour un certain k < 1). Alors f possède un unique point fixe. De plus, ce point fixe est attractif.
Plus précisément, ce théorème assure que toute suite de la forme converge vers ce point fixe et que , ce qui majore la vitesse de convergence de la suite.
Utilisation en automatique
En automatique, un système de régulation contrôle une valeur ou propriété de telle façon qu'elle tende à converger vers un point fixe nommé consigne, défini par l'opérateur ou une autre partie du système. On parle par exemple de régulation de position, régulation de température, régulation de vitesse…
Note
- Cette hypothèse que la limite de la suite appartient au domaine de définition de la fonction est indispensable : Daniel Perrin, « Un contre-exemple », sur Laboratoire de mathématiques d'Orsay.
