Ensemble de définition

À titre de contre-exemple, considérons la fonction

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &{\frac {1}{x}}~.\end{array}}}$

Cette fonction n'est pas définie en 0 : « f(0) » n'existe pas.

L'ensemble de définition de cette fonction est donc ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$. Il diffère de son ensemble de départ, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ; cette fonction n'est donc pas une application.

Cependant, il est toujours possible de transformer une fonction en application, par exemple en la restreignant à son domaine de définition. Cette restriction est notée habituellement f_|Df. C'est une application par construction.

Ainsi, dans notre exemple, la fonction

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f_{|\mathbb {R} ^{*}}&:&\mathbb {R} ^{*}&\to &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &{\frac {1}{x}}\end{array}}}$

est bien une application.

Une autre solution pour transformer une fonction en application consiste à la prolonger, c'est-à-dire choisir une image dans l'ensemble d'arrivée pour chacun des éléments sans image de l'ensemble de départ. En particulier, si une fonction f n'est pas définie en un point x₀, il est possible de la prolonger en ce point en la remplaçant par une autre fonction, appelée un prolongement de f en x₀ et notée ici f, et telle que :

• sur D_f, le prolongement f coïncide avec f  :

${\displaystyle \forall \ x\in D_{f}\quad {\bar {f}}(x)=f(x)~;}$

• au point x₀, le prolongement de f a une valeur définie, a :

${\displaystyle \exists \ a\in F\quad {\bar {f}}(x_{0})=a.}$

Ainsi, dans notre exemple, on peut transformer la fonction f en application en la prolongeant à l'origine par (par exemple) : f(0) = 0.

Remarque : assez souvent, pour alléger les notations, le prolongement est noté de la même manière que la fonction initiale. Cette ambiguïté est sans conséquence si le prolongement est explicité et remplace aussitôt et définitivement la fonction initiale.