Théorème de Cayley

En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :

Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de S_n.

Démonstration

Soit $G$ un groupe et g un élément de ce groupe. On définit l'application $t$ _g de $G$ dans $G$ comme étant la translation à gauche :

\forall x\in G\qquad t_{g}(x)=gx.

L'associativité de la loi du groupe équivaut à :

(\star )\qquad \forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_{g}\circ t_{h}.

On en déduit en particulier que $t$ _g est une permutation (de bijection réciproque $t$ _g⁻¹), ce qui permet de définir une application t de $G$ dans $S (G)$ par :

\forall g\in G\qquad t(g)=t_{g}.

D'après $(\star )$ , t est un morphisme de groupes.
Son noyau est le groupe trivial {e} (où e désigne l'élément neutre de G) car si un élément g de G est tel que t_g soit l'application identité alors g = t_g(e) = e.

D'après le premier théorème d'isomorphisme, t réalise donc un isomorphisme entre G et le sous-groupe Im(t) de $S (G)$ .

Remarques

Si G est d'ordre n, le groupe S_n dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.

Utilisations

Ce théorème est utilisé en théorie des représentations de groupes. Soient $G$ un groupe et $(e_{g})_{g\in G}$ une base d'un espace vectoriel $E$ de dimension | $G$ |. Le théorème de Cayley indique que $G$ est isomorphe à un groupe de permutations des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme de $E$ qui ici, par construction, est un automorphisme de $E$ . Cela définit une représentation du groupe : sa représentation régulière.
Il intervient aussi dans une démonstration du premier théorème de Sylow.

Historique

Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854[1]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan[2], qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870[3]^,[4] : les permutations t_g sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, t_g est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.

Notes et références

(en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1 », Philos. Mag., vol. 7, n^o 4,‎ 1854, p. 40-47.
Par exemple dans (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, 2004 (1^re éd. 1911) (ISBN 978-0-486-49575-0, lire en ligne), p. 22.
Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars, 1870 (lire en ligne), p. 60-61.
Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de (en) Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », Amer. Math. Month., vol. 87, n^o 3,‎ 1980, p. 202-203 (JSTOR 2321608).

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[1] (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1 », Philos. Mag., vol. 7, n^o 4,‎ 1854, p. 40-47.

[2] Par exemple dans (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, 2004 (1^re éd. 1911) (ISBN 978-0-486-49575-0, lire en ligne), p. 22.

[3] Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars, 1870 (lire en ligne), p. 60-61.

[4] Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de (en) Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », Amer. Math. Month., vol. 87, n^o 3,‎ 1980, p. 202-203 (JSTOR 2321608).