Théorème de Śleszyński-Pringsheim

Pour tous complexes a₁, a₂, a₃… de modules inférieurs ou égaux à 1/4, la fraction continue généralisée

${\displaystyle {\frac {a_{1}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid 1}}+\cdots }$

converge, et ses réduites sont de modules strictement inférieurs à 1/2.

Ce théorème, publié en 1865 par Julius Worpitzky (de)[8]^,[9], passe pour avoir été le premier critère de convergence concernant des fractions continues à coefficients complexes[10].

C'est un cas particulier du théorème de Śleszyński-Pringsheim, d'après l'équivalence de fractions : ${\displaystyle {\frac {2a_{1}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid 1}}+\cdots ={\frac {4a_{1}\mid }{\mid 2}}+{\frac {4a_{2}\mid }{\mid 2}}+{\frac {4a_{3}\mid }{\mid 2}}+\cdots .}$

Pringsheim a formulé le corollaire suivant de « son » théorème[11]^,[12] :

Pour tous complexes b₁, b₂, b₃… vérifiant, pour tout entier i > 0

${\displaystyle {\frac {1}{|b_{2i-1}|}}+{\frac {1}{|b_{2i}|}}\leq 1,}$

la fraction continue régulière[13] suivante converge :

${\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots .}$

Ce critère est un cas particulier du théorème de Śleszyński-Pringsheim, d'après l'équivalence de fractions : ${\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid b_{2}}}+\cdots ={\frac {b_{2}/b_{1}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {b_{2}/b_{1}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {b_{4}/b_{3}\mid }{\mid b_{4}}}+{\frac {b_{4}/b_{3}\mid }{\mid b_{4}}}+\cdots .}$

Il s'applique par exemple si tous les b_n sont de module au moins 2 (cf. § Exemples ci-dessous).

Pour un complexe z (non nul), une étude directe (cf. article détaillé) montre que la fraction

${\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid z}}+{\frac {1\mid }{\mid z}}+{\frac {1\mid }{\mid z}}+\cdots }$

converge si et seulement si z n'appartient pas à l'intervalle imaginaire pur ]−2i, 2i[.

La convergence était prévisible pour z de module supérieur ou égal à 2 par le théorème ou le corollaire de Pringsheim[19] (et pour z réel positif, par le théorème de Seidel-Stern).

Pringsheim s'intéresse aux fractions qu'il qualifie de « négativement régulières ». Ce sont les fractions de la forme

${\displaystyle b_{0}-{\frac {1\mid }{\mid b_{1}}}-{\frac {1\mid }{\mid b_{2}}}-\cdots ,}$

où les b_n sont entiers et, pour n > 0, b_n ≥ 2.

Il s'agit donc de la variante des fractions continues simples[20] obtenue en remplaçant les signes « + » par des signes « – » et en interdisant la valeur 1 pour les b_n (sauf pour b₀).

Les fractions « négativement régulières » convergent d'après le théorème de Śleszyński-Pringsheim, de même que les fractions simples convergent d'après le théorème de Seidel-Stern[21]. De plus — de même que les fractions simples infinies sont en bijection avec les irrationnels — les fractions « négativement régulières » infinies sont en bijection avec tous les réels, par le théorème suivant[22]^,[23] :

Tout réel est la limite d'une unique fraction « négativement régulière » infinie.

Alors qu'avec les fractions simples, un rationnel se reconnaît à ce que son développement est fini, avec les fractions « négativement régulières », il se reconnaît au fait qu'à partir d'un certain rang, tous les b_n sont égaux à 2[22]^,[23].

L'analogue de l'algorithme de développement en fraction simple, pour déterminer les dénominateurs partiels b_n du développement en fraction négativement régulière d'un réel x, est le suivant[22]^,[23]. Pour tout réel t, notons ⌊t⌋ la partie entière de t et G(t) l'entier ⌊t⌋ + 1. On a donc 1/(G(t) – t) ≥ 1.

On définit alors par récurrence deux suites (x_n) et (b_n) par : ${\displaystyle x_{0}=x{\text{ et }}\forall n\in \mathbb {N} \quad b_{n}=G(x_{n}){\text{ et }}x_{n+1}={\frac {1}{b_{n}-x_{n}}}.}$

Par exemple[24] :

• Développements de période 1 :${\displaystyle \forall n\in \{2,3,\ldots \}\quad -{\frac {1\mid }{\mid n}}-{\frac {1\mid }{\mid n}}-\cdots ={\frac {-n+{\sqrt {n^{2}-4}}}{2}},}$en particulier :
  • pour n = 2 : le développement de –1 est un cas limite du théorème de Śleszyński-Pringsheim ;
  • pour n = 2m :${\displaystyle \forall m\in \{1,2,3,\ldots \}\quad {\sqrt {m^{2}-1}}=m-{\frac {1\mid }{\mid 2m}}-{\frac {1\mid }{\mid 2m}}-\cdots .}$
• Développements de période 2 :${\displaystyle \forall m,n\in \{2,3,\ldots \}\quad -{\frac {1\mid }{\mid m}}-{\frac {1\mid }{\mid n}}-{\frac {1\mid }{\mid m}}-{\frac {1\mid }{\mid n}}-\cdots ={\frac {1}{2}}\left(-n+{\sqrt {\frac {n(mn-4)}{m}}}\right),}$en particulier (pour n = 2m)${\displaystyle \forall m\in \{2,3,\ldots \}\quad {\sqrt {m^{2}-2}}=m-{\frac {1\mid }{\mid m}}-{\frac {1\mid }{\mid 2m}}-{\frac {1\mid }{\mid m}}-{\frac {1\mid }{\mid 2m}}-\cdots .}$