Tangente (trigonométrie)

La fonction tangente est une fonction réelle qui est :

• périodique, de période π : tan(θ + k⋅ π)= tan θ pour tout k entier ;
• impaire : tan(–θ)= – tan θ ;
• elle s'annule en 0 et par conséquent pour tous les multiples entiers de π : tan(k π)=0 pour tout k entier ;
• elle présente des asymptotes verticales aux valeurs θ=k π + π/2 pour tout k entier :

  ${\displaystyle \lim _{\theta \to (\pi /2)^{-}}\tan \theta =+\infty }$

  ${\displaystyle \lim _{\theta \to (\pi /2)^{+}}\tan \theta =-\infty }$

• sa dérivée est : ${\displaystyle \tan '\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=1+\tan ^{2}\theta }$
• si un angle θ est exprimé en radians, alors pour les faibles valeurs de θ, on a :

  tan θ ≃ θ (voir la section Développement limité ci-dessous).

En appliquant la formule d'Euler, on a :

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{i\theta }-\mathrm {e} ^{-i\theta }}{i(\mathrm {e} ^{i\theta }+\mathrm {e} ^{-i\theta })}}}$

La fonction réciproque est la fonction arc tangente, notée arctan ; certaines calculatrices la notent « atan ».

L'inverse de la fonction tangente est la fonction cotangente, notée cot (parfois cotan ou cotg) :

${\displaystyle \operatorname {cot} \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$

Le développement limité de la fonction tangente en zéro est :

${\displaystyle \tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots +{\frac {(-1)^{n}\cdot 2^{2n}\cdot (1-2^{2n})\cdot B_{2n}}{(2n)!}}\cdot x^{2n-1}+o(x^{2n})}$

où les B_2n sont les nombres de Bernoulli.

Le calcul de la tangente se fait par série, mais plutôt que d'utiliser le développement limité par série de Taylor, qui utilise de nombreuses multiplications, on préfère l'algorithme CORDIC.