CORDIC

CORDIC permet de déterminer le sinus ou le cosinus d'un angle donné en radians sous un format à virgule fixe. Pour trouver le sinus ou le cosinus d'un angle β, on recherche la coordonnée x ou y du point du cercle unité lui correspondant. CORDIC commence les calculs avec un vecteur v₀ tel que :

${\displaystyle v_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

Durant la première itération, le vecteur subit une rotation de 45° dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique) afin d'obtenir un nouveau vecteur v₁. Des itérations successives doivent engendrer une rotation du vecteur dans la bonne direction. À chaque itération, la rotation est faite d'un angle prédéterminé et moindre que le précédent. Ceci jusqu'à converger vers l'angle voulu.

Illustration de plusieurs itérations de CORDIC

Plus formellement, à chaque itération i, on calcule un nouveau vecteur grâce à la multiplication du vecteur v_i avec la matrice de rotation R_i :

${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}\ }$

La matrice de rotation R_i s'obtient selon la formule suivante :

${\displaystyle R_{i}={\begin{pmatrix}\cos \gamma _{i}&-\sin \gamma _{i}\\\sin \gamma _{i}&\cos \gamma _{i}\end{pmatrix}}}$

En factorisant le terme cos(γ) on obtient :

${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}=\cos \gamma _{i}{\begin{pmatrix}1&-\sigma _{i}\tan \gamma _{i}\\\sigma _{i}\tan \gamma _{i}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{pmatrix}}}$

Le facteur σ_i prend les valeurs +1 ou -1 et sert à indiquer le sens de la rotation. Si l'on restreint les choix possibles pour l'angle γ de manière que tan(γ) soit égal à 2^–i alors la multiplication par la tangente devient une multiplication par une puissance de 2. Une opération aisée à réaliser informatiquement puisqu'en binaire il s'agit d'un décalage de bits.

Le calcul devient :

${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}=\cos(\arctan(2^{-i})){\begin{pmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{pmatrix}}=K_{i}{\begin{pmatrix}x_{i}-\sigma _{i}2^{-i}y_{i}\\x_{i}\sigma _{i}2^{-i}+y_{i}\end{pmatrix}}}$

avec

${\displaystyle K_{i}=\cos(\arctan(2^{-i}))\ }$

Ces coefficients K_i peuvent être ignorés pendant les itérations et factorisés en un seul coefficient multiplicatif final (dépendant de n) :

${\displaystyle K(n)=\prod _{i=0}^{n-1}K_{i}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(\arctan(2^{-i}))=\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}}}$

qui peut être calculé à l'avance et prémémorisé. Également, lorsque n tend vers l'infini, ce produit tend vers une constante :

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }K(n)\approx 0,6073}$ (0,60725294…)

Après suffisamment d'itérations, l'angle du vecteur sera proche de l'angle β voulu.

La dernière étape consiste à déterminer à chaque itération le sens de rotation, trigonométrique ou horaire (un résultat reporté sur la valeur de σ_i). Pour ce faire, on regarde l'angle β_{n + 1} actuel du vecteur que l'on soustrait à l'angle désiré. On teste si cette différence est positive (rotation dans le sens horaire) ou négative (sens trigonométrique), de façon à s'approcher de l'angle β.

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-\sigma _{i}\gamma _{i}.\quad \gamma _{i}=\arctan 2^{-i}}$,

Les valeurs de γ_n sont précalculées dans une table prémémorisée de valeurs. Toutefois, pour des angles petits, on utilise l'approximation arctan(γ_n) ≈ γ_n dans une représentation en virgule fixe, permettant ainsi de réduire la taille de cette table.

Comme illustré dans le schéma ci-dessus, le sinus de l'angle β est la coordonnée y du vecteur final v_n, alors que la coordonnée x correspond au cosinus.

En 1971, John Stephen Walther de Hewlett Packard, a présenté une généralisation de l'algorithme qui fut mise en œuvre dans la calculatrice HP-35. Cette méthode permet de calculer notamment les fonctions hyperboliques mais également d'autres fonctions comme l'exponentielle, la division ou la multiplication. La généralisation se présente comme suit[1] :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{k+1}=x_{k}-m\sigma _{k}y_{k}2^{-k}\\y_{k+1}=y_{k}+\sigma _{k}x_{k}2^{-k}\\z_{k+1}=z_{k}-\sigma _{k}\varepsilon _{k}\end{matrix}}\right.}$

avec m ∈ {–1 ; 0 ; 1} , ε_k des constantes définies à l'avance et σ_k ∈ {–1 ; 1} (en fonction de la valeur de z_k).

• Jack E. Volder, The CORDIC Trigonometric Computing Technique, IRE Transactions on Electronic Computers, septembre 1959
• Daggett, D. H., Decimal-Binary conversions in CORDIC, IRE Transactions on Electronic Computers, Vol. EC-8 n^o 5, p. 335-339, IRE, septembre 1959.
• J. E. Meggitt, Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes, IBM Journal, avril 1962.
• Vladimir Baykov, Problems of Elementary Functions Evaluation Based on Digit by Digit (CORDIC) Technique, rapport de thèse, Université d'État de Leningrad d'ingénierie électrique, 1972
• Schmid, Hermann, Decimal computation. New York, Wiley, 1974
• V.D.Baykov, V.B.Smolov, Hardware implementation of elementary functions in computers, Université d'État de Leningrad, 1975, 96p.
• Senzig, Don, Calculator Algorithms, IEEE Compcon Reader Digest, Catalogue IEEE n^o 75 CH 0920-9C, p. 139-141, IEEE, 1975.
• V.D.Baykov, S.A.Seljutin, Elementary functions evaluation in microcalculators, Moscou, Radio & svjaz, 1982,64p.
• Vladimir D.Baykov, Vladimir B.Smolov, Special-purpose processors: iterative algorithms and structures, Moscou, Radio & svjaz, 1985, 288 pages
• M. Zechmeister Solving Kepler’s equation with CORDIC double iterations Institut für Astrophysik, Georg-August-Universität, Friedrich-Hund-Platz 1, 37077 Göttingen, Germany, Preprint 10 August 2020, p.1-10.
• M. E. Frerking, Digital Signal Processing in Communication Systems, 1994
• Vitit Kantabutra, On hardware for computing exponential and trigonometric functions, IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339 (1996).
• Tomás Lang & Elisardo Antelo CORDIC-Based Computation of ArcCos Journal of VLSI signal processing systems for signal, image and video technology volume 25, pages19–38 (2000)
• Vladimir Baykov Double iterations in CORDIC CORDIC Bibliography
• Andraka, Ray, A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers
• Le Secret des algorithmes, Jacques Laporte, Paris 1981. À la suite du décès de son auteur et non-renouvellement auprès de l'hébergeur, le site est désormais inaccessible (même chez archive.org), sauf auprès de la NSA. Néanmoins, une copie, autorisée par sa veuve, se trouve à l'adresse : http://home.citycable.ch/pierrefleur/Jacques-Laporte/index.html.
• (en) Jean-Michel Muller, Elementary Functions – Algorithms and Implementation, 2nd Ed., Boston, Birkhäuser, 2006, 2^e éd., 265 p. (ISBN 978-0-8176-4372-0, LCCN 2005048094, présentation en ligne)
• Lefèvre V., Zimmerman P., janvier 2004, Arithmétique flottante, Rapport de Recherche INRIA n^o 5105.