Système d'unités naturelles

La règle de Wheeler énonce que dans un système d'unités convenablement choisi, les constantes sans dimension valent 1.

Toute cette attitude, familière au physicien, est attribuable au fait que très rarement, en physique, interviennent de grands nombres (on a malgré tout des ${\displaystyle (2\pi )^{6}}$ qui peuvent arriver) ; ou alors il faut les justifier :

• par exemple une étoile comme le Soleil contient beaucoup de protons, mais pas tant que cela à « l'échelle » justifiée de N* = 10⁵⁷ = ${\displaystyle \left({\frac {\hbar c}{GM^{2}}}\right)^{3/2}}$ ;
• par exemple aussi, l'indiscernabilité fait intervenir en physique statistique N! qui avec N = 10²⁴ est assez considérable.

Néanmoins, il existe en physique quelques cas où une variation exponentielle intervient : le franchissement d'une barrière de potentiel par effet tunnel (les temps de demi-vie parcourent trente ordres de grandeur) ou par diffusion thermique (les résistivités parcourent aussi quinze ordres de grandeur).
Ou encore le théorème de Nekhoroshev dans la diffusion d'Arnold.

Il est le plus familier au physicien-chimiste ; dans l'article système d'unités atomiques a été développée la notion de système de Bohr, et elle a été distinguée du système de Schrödinger ; cela donne une bonne idée de ce que l'analyse dimensionnelle (le scaling ou dimensional units en anglais) peut apporter en physique.

Insistons sur le fait qu'il faut d'abord avoir les équations physiques du problème.

• L'exemple classique est celui de Taylor sur la bombe atomique. L'armée américaine ayant déclassé en 1950 les photographies de la boule de feu d'Hiroshima (6 août 1945), Taylor constata que le rayon de la boule ne croissait pas linéairement avec le temps, mais plutôt comme t^2/5[4]. Soit E₀ l'énergie de la boule de feu et ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique de l'air. Puisque l'énergie de la boule de feu provient essentiellement du mouvement des gaz chauds déplacés, cette énergie peut être écrite comme suit :

  ${\displaystyle E_{0}\simeq {\dfrac {1}{2}}mv^{2}\sim (\rho r^{3})\left({\dfrac {r}{t}}\right)^{2}}$, soit : ${\displaystyle r\sim t^{2/5}\left({\dfrac {E_{0}}{\rho }}\right)^{1/5}}$

  À partir des photographies Taylor obtint la valeur de E₀, avec la règle de Wheeler. Les raisonnements par analyse dimensionnelle nécessitent donc d'isoler au préalable les grandeurs et relations physiques décrivant le système étudié.

• Les raisonnements par analyse dimensionnelle sont également très utile dans l'étude de la turbulence. À nouveau il faut prendre soin d'isoler les bonnes équations et quantités décrivant le système physique étudié. Ainsi, considérons la relation de dispersion pour des ondes de surface dans le régime de gravité : ${\displaystyle \omega ^{2}=gk}$. Raisonner par analyse dimensionnelle indique alors que la densité spectrale de puissance sera telle que ${\displaystyle S_{grav}\sim \rho ^{-1/3}g\epsilon ^{1/3}\omega ^{-4}}$[5] ce qui est mesurable expérimentalement. En revanche, si les ondes de surface considérées sont des ondes de capillarité, alors la relation de dispersion devient ${\displaystyle \omega ^{2}={\dfrac {\gamma }{\rho }}k^{3}}$ . La densité spectrale de puissance devient alors ${\displaystyle S_{cap}\sim \rho ^{-2/3}\gamma ^{1/6}\epsilon ^{1/2}\omega ^{-17/6}}$[5], à nouveau vérifié expérimentalement. Cet exemple met en exergue qu'un raisonnement par analyse dimensionnelle ne dispense pas d'isoler la physique du problème considéré, sous peine d'obtenir des résultats incohérents.