Restriction (mathématiques)

En mathématiques, la restriction d'une fonction $f$ est une fonction, souvent notée $f | A$ ou $f{\upharpoonright _{A}}$ , pour laquelle on ne considère que les valeurs prises par $f$ sur un domaine $A$ inclus dans le domaine de définition de $f$ .

La fonction

x 2

n'admet pas de réciproque sur la droite réelle. Il faut restreindre sur les réels positifs pour pouvoir définir la racine carrée

\sqrt x

.

Définition

Soit $f : E \to F$ une fonction sur un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ . Si on prend $A$ , un sous-ensemble de $E$ , alors la restriction de $f$ sur $A$ est la fonction[1] :

{\begin{aligned}{f|}_{A}\colon &A&\to &F\\&x&\mapsto &f|_{A}(x)=f(x)\end{aligned}}

La restriction de $f$ sur $A$ est donc égale à $f$ sur $A$ , mais non définie sur le reste du domaine de $f$ .

Exemples

La restriction de la fonction non-injective $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ sur le domaine $\mathbb {R} _{+}=[0,+\infty [$ est la fonction injective $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ .
La factorielle peut être vue comme la restriction de la fonction gamma sur les entiers positifs, avec un décalage à droite :
${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

Propriétés

La restriction d'une fonction à tout son domaine de définition est égale à la fonction elle-même : $f | dom(f) = f$ .
Restreindre deux fois revient à restreindre une seule fois : si $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ , alors $(f|_{B})|_{A}=f|_{A}$ .
La restriction de la fonction identité sur un ensemble X à un sous-ensemble A de X est simplement l'inclusion canonique de A sur X[2].
La restriction préserve la continuité[3]^,[4].

Applications

Fonctions réciproques

Pour qu'une fonction ait une réciproque, elle doit être bijective. Si ce n'est pas le cas, on peut alors définir une restriction de la fonction sur un domaine où elle est bijective, et donc y définir une réciproque. Par exemple, la fonction carré :

\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}

n'est pas injective (puisqu'on a $f (x) = f (- x)$ . Cependant, en considérant la restriction sur la demi-droite des réels positifs $[0, +\infty[$ , on peut définir la réciproque, la racine carrée :

\forall y\in \mathbb {R} _{+},f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

Les fonctions racines d'une puissance paire, les fonctions arc cosinus et arc sinus, reposent sur le même principe.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Restriction (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

(en) Robert Stoll, Sets, Logic and Axiomatic Theories, W. H. Freeman and Company, p. 5.
(en) Paul Halmos, Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ISBN 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. (ISBN 978-1-61427-131-4) (Paperback edition).
(en) James R. Munkres, Topology, vol. 2, Upper Saddle River, Prentice Hall, 2000.
(en) Colin Conrad Adams et Robert David Franzosa, Introduction to topology : pure and applied, Prentice Hall, 2008.

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[Stoll-1] (en) Robert Stoll, Sets, Logic and Axiomatic Theories, W. H. Freeman and Company, p. 5.

[2] (en) Paul Halmos, Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ISBN 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. (ISBN 978-1-61427-131-4) (Paperback edition).

[3] (en) James R. Munkres, Topology, vol. 2, Upper Saddle River, Prentice Hall, 2000.

[4] (en) Colin Conrad Adams et Robert David Franzosa, Introduction to topology : pure and applied, Prentice Hall, 2008.