Fonction carré

Calculer les antécédents d'un réel a par la fonction carré équivaut à résoudre l'équation x² = a. Il y a trois cas possibles :

• ${\displaystyle a<0}$ : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
• ${\displaystyle a=0}$ : une solution, x = 0 ;
• ${\displaystyle a>0}$ : deux solutions, ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ et ${\displaystyle -{\sqrt {a}}}$.

Par exemple, les solutions de x² = 9 sont 3 et -3.

On peut également déterminer les antécédents graphiquement : les antécédents de a sont les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y = a et du graphe de la fonction carré.

La dérivée de la fonction carré est ${\displaystyle x\mapsto 2x}$ (c'est une fonction linéaire donc impaire)[2]. Elle est donc (strictement) négative sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}}$ et positive sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$, si bien que la fonction carré est (strictement) décroissante sur ]-∞ , 0 ] et croissante sur [0 , +∞ [. Elle s'annule en 0, son minimum global. Le sens de variation de la fonction carré est à prendre en compte lors de la résolution d'inéquations (inversion des inégalités si les valeurs sont négatives).

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}$

donc pour la fonction carré définie par ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, on a :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).}$

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions g_C définies par, pour C une constante réelle arbitraire :

${\displaystyle g_{C}(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C}$.

Représentation graphique de la fonction carré.

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.

On peut étendre la définition de la fonction carré au domaine complexe en définissant ${\displaystyle f:z\rightarrow z^{2}}$. Par exemple, si ${\displaystyle z=2+i}$, ${\displaystyle f(z)=3+4i}$. ${\displaystyle f}$ peut être aussi considérée comme une fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, la fonction qui au couple ${\displaystyle (x,y)}$ associe le couple ${\displaystyle (x^{2}-y^{2},2xy)}$ puisque, en écrivant ${\displaystyle z=x+iy}$, on a ${\displaystyle z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}$[3]

La fonction carré peut servir à illustrer des propriétés de différentiabilité, d'holomorphie, sert souvent d'exemple pour illustrer les conditions de Cauchy-Riemann [4]^,[5].

La fonction carré sert également à démontrer une propriété géométrique des triplets pythagoriciens.

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