Rapidité (relativité)

La rapidité ${\displaystyle \ \varphi }$ d'un objet par rapport à un référentiel inertiel est l'argument hyperbolique défini par[3] :

${\displaystyle \varphi =\operatorname {artanh} {\left({\frac {v}{c}}\right)}={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}\right)}$,

et par[4] :

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arcosh} {\left(\gamma \right)}=\ln \left(\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\right)}$,

où :

• v est la vitesse dans ce référentiel ;
• c la vitesse de la lumière ;
• γ est la facteur de Lorentz[5] ;
• artanh la fonction réciproque de la tangente hyperbolique ;
• arcosh est la fonction réciproque de la fonction réciproque du cosinus hyperbolique ;
• ln est la fonction logarithme népérien.

Soit un corps se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle w\,}$ par rapport à un référentiel R, qui lui-même se déplace à la vitesse ${\displaystyle v\,}$ par rapport à un autre référentiel R', en supposant que ${\displaystyle {\vec {w}}//{\vec {v}}}$. La vitesse du corps par rapport à ce second référentiel est ${\displaystyle w'\,}$, calculée par : ${\displaystyle w'\,=\,{\frac {w+v}{1+(wv/c^{2})}}\,}$

En posant ${\displaystyle {\frac {w}{c}}=\operatorname {tanh} \left(\theta \right)\,,{\frac {w'}{c}}=\operatorname {tanh} \left(\theta '\right)\,,{\frac {v}{c}}=\operatorname {tanh} \left(\varphi \right)\,,}$ on obtient, avec l'hypothèse que ${\displaystyle {\vec {w}}//{\vec {v}}}$ et avec les formules de trigonométrie hyperbolique : ${\displaystyle \ \theta '=\theta +\varphi }$

La rapidité est ainsi désignée à la suite du physicien britannique Alfred Robb (1873-1936)[6].

• [Robb 1911] (en) Alfred A. Robb, Optical geometry of motion : a new view of the theory of relativity [« Géométrie optique du mouvement : une nouvelle vision de la théorie de la relativité »], Cambridge, W. Heffer, 1911, 1^re éd., 1 vol., [II]-32 p., 23 cm (OCLC 12875850, lire en ligne).

• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS Éditions, coll. « Savoirs actuels / Physique », mai 2010, 1^re éd., XXVI-776 p., 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, notice BnF n^o FRBNF41411713, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Lévy-Leblond et Provost 1979] (en) Jean‐Marc Lévy-Leblond et Jean‐Pierre Provost, « Additivity, rapidity, relativity » [« Additivité, rapidité, relativité »], Am. J. Phys., vol. 47, n^o 12,‎ déc. 1979, p. 1045-1049 (OCLC 4660591626, DOI 10.1119/1.11972, Bibcode 1979AmJPh..47.1045L, résumé).
• [Lévy-Leblond 1980] (en) Jean-Marc Lévy-Leblond, « Speed(s) » [« Vitesse(s) »], Am. J. Phys., vol. 48, n^o 5,‎ mai 1980, p. 345-347 (OCLC 4660605214, DOI 10.1119/1.12093, Bibcode 1980AmJPh..48..345L, résumé).
• James H. Smith, Introduction à la relativité, InterEditions (1968). 2^e édition avec exercices corrigés (1979) (ISBN 2-7296-0088-4). Réédité par Masson (Dunod - 3^e édition - 1997), (ISBN 2225829853).
• Notes de cours[PDF] du professeur J.M. Raimond du Département de Physique de l’Ecole normale supérieure(ENS), pages 88 à 90.