Pseudoscalaire

• Le produit scalaire d'un vecteur et d'un pseudovecteur est un pseudoscalaire.
• Le produit d'un scalaire et d'un pseudoscalaire est un pseudoscalaire.
• Un vecteur multiplié par un pseudoscalaire est un pseudovecteur.
• Un pseudovecteur multiplié par un pseudoscalaire est un vecteur.
• Le produit de deux pseudoscalaires est un scalaire.

Ces règles sont résumées par la grandeur d'orientation de ces différentes entités, qui suivent les règles de composition d'un groupe de Klein.

L'exemple prototype est le produit mixte de trois vecteurs, qui peut s'écrire comme le produit scalaire du premier par le produit vectoriel des deux autres :

${\displaystyle V=|\det({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})|={\vec {v}}_{1}\cdot ({\vec {v}}_{2}\wedge {\vec {v}}_{3})={\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {S}}_{23}}$

D'autres exemples sont :

• La charge magnétique (indépendamment de savoir si une telle grandeur existe).
• Une vitesse de rotation.

À titre d'exemples :

• En algèbre géométrique, un pseudo-scalaire est multiple scalaire de l'élément de plus haut grade de l'algèbre ${\displaystyle \mathbf {G_{n}} }$^[Quoi ?]. Par exemple, pour l'algèbre de l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbf {G_{2}} }$ l'élément de plus haut grade est donné par le produit géométrique des deux vecteurs de base ${\displaystyle \mathbf {e_{1}e_{2}} }$, qui est aussi le bivecteur défini par le produit extérieur ${\displaystyle \mathbf {e_{1}\wedge e_{2}} }$. Pour l'algèbre de l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbf {G_{3}} }$ l'élément de plus haut grade est donné par le produit géométrique des trois vecteurs de base ${\displaystyle \mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} }$ qui est le produit extérieur ${\displaystyle \mathbf {e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{3}} }$.
  L'unité pseudo-scalaire est souvent notée I. Dans ${\displaystyle \mathbf {G_{3}} }$ tout trivecteur ou 3-vecteur est un multiple du pseudo-scalaire ${\displaystyle I=\mathbf {e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{3}} }$. En ${\displaystyle \mathbf {G_{2}} }$ et ${\displaystyle \mathbf {G_{3}} }$ le carré du pseudoscalaire est ${\displaystyle \mathbf {I^{2}=-1} }$, mais ce n'est pas une règle générale, cela dépend de la dimension de l'espace et de sa signature. Il y a une étroite relation entre l'algèbre à deux dimensions de ${\displaystyle \mathbf {G_{2}} }$ et l'algèbre des nombres complexes, le pseudo-scalaire jouant le rôle du nombre imaginaire pur.
• Le produit mixte de trois vecteurs n'est pas invariant par une isométrie indirecte, par exemple une symétrie axiale : il change de signe. Un pseudoscalaire peut orienter un vecteur, ce qui fait de ce produit un pseudovecteur.
• En physique théorique, la « charge magnétique » d'un monopôle magnétique se comporte comme un pseudoscalaire.