Résistance des matériaux

La contrainte normale ${\displaystyle \sigma }$ est proportionnelle à l’allongement relatif ${\displaystyle \varepsilon }$ et un facteur constant ${\displaystyle E}$ désigné sous le nom de module d'élasticité ou encore module de Young (valable uniquement pour les petits déplacements) :

${\displaystyle \sigma =E\,{\varepsilon }}$

• ${\displaystyle \sigma }$ est une contrainte qui s'exprime le plus souvent en MPa ou N/mm² ;
• ${\displaystyle E}$ est homogène à une contrainte ;
• ${\displaystyle \varepsilon }$ est sans dimension.

L’allongement relatif ${\displaystyle \varepsilon }$ est le rapport entre l'allongement (${\displaystyle \ell }$ - ${\displaystyle \ell _{0}}$) et la longueur initiale ${\displaystyle \ell _{0}}$ :

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\ell -\ell _{0}}{\ell _{0}}}={\frac {\ell }{\ell }}_{0}-1}$

Cette contrainte est dite contrainte normale due à la force de traction. ${\displaystyle \sigma }$ est égale à l'intensité de la force ${\displaystyle F}$ divisée par l'aire ${\displaystyle S}$ de la surface normale à cette force :

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}}$

avec ${\displaystyle S}$ la section initiale (avant déformation). ${\displaystyle \sigma }$ est aussi appelée contrainte PK1.

Le critère de résistance est rempli lorsque la contrainte maximale reste inférieure à la contrainte limite. La première correspond à la contrainte calculée ci-dessus, éventuellement multipliée par divers facteurs tels que :

• un facteur de concentration de contraintes ${\displaystyle K_{t}}$ qui dépend de la géométrie de la poutre (ex : pour une vis à filets triangulaires ${\displaystyle K_{t}=2{,}5}$) ;
• un facteur d'amplification dynamique ;
• divers autres facteurs de sécurité (sur les sollicitations).

La contrainte limite correspond généralement à la limite élastique ${\displaystyle R_{e}}$, éventuellement divisée par des facteurs de sécurité (sur la résistance) ${\displaystyle s_{i}}$ (ex : pour les gaines d'un ascenseur ${\displaystyle s=12}$).

Sous l'effet du moment de flexion ${\displaystyle M_{3}}$ (en N m), la contrainte de flexion à une distance ${\displaystyle x_{2}}$ (en m) de la fibre neutre s'exprime en fonction du moment quadratique ${\displaystyle I_{3}}$ (en m⁴) de la section étudiée par la relation :

${\displaystyle \sigma _{\text{flexion}}=-{\frac {M_{3}\,x_{2}}{I_{3}}}}$

avec

${\displaystyle I_{3}=\int _{S}{x_{2}^{2}\,\mathrm {d} S}}$,

le moment quadratique, qui est habituellement désigné par inertie de la section par rapport à l'axe du moment de flexion.

• Pour une section rectangulaire de base ${\displaystyle b}$ et de hauteur ${\displaystyle h}$ : ${\displaystyle I_{3}={\frac {b\,h^{3}}{12}}}$.
• Pour une section circulaire de diamètre ${\displaystyle D}$ : ${\displaystyle I_{3}={\frac {\pi \,D^{4}}{64}}}$.

Le théorème de Huygens permet de calculer le moment quadratique d'une section coupée en plusieurs morceaux. Pour chaque morceau, son moment par rapport à un axe arbitraire ${\displaystyle A}$ dépend de son moment par rapport à l'axe de gravité ${\displaystyle G}$ parallèle à ${\displaystyle A}$, à sa section ${\displaystyle S}$ et la distance entre les axes ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle G}$ selon l'expression :

${\displaystyle I_{A}=I_{G}+S\,d^{2}}$.

${\displaystyle \tau _{\text{moy}}={\frac {F_{\text{cisaillement}}}{S}}=G\,\gamma }$

avec le module de cisaillement (homogène à une contrainte)

${\displaystyle G={\frac {E}{2\,(1+\nu )}}}$.

Pour avoir la contrainte tangentielle maximale :

• pour une section rectangulaire : ${\displaystyle \tau _{\text{max}}={\frac {3}{2}}\,\tau _{\text{moy}}}$
• pour une section circulaire : ${\displaystyle \tau _{\text{max}}={\frac {4}{3}}\,\tau _{\text{moy}}}$

Ce qui suit concerne uniquement les poutres à sections circulaires.

${\displaystyle \theta ={\frac {M_{\text{t}}}{G\,I_{0}}}}$

où ${\displaystyle \theta }$ est l'angle unitaire de torsion (en rad/m). La rotation de la barre en un point d’abscisse ${\displaystyle L}$ est donc ${\displaystyle \theta L}$.

Le moment quadratique polaire ${\displaystyle I_{0}}$ de la section est donné par :

${\displaystyle I_{0}={\frac {\pi \,D^{4}}{32}}}$.

La contrainte de cisaillement maximale ${\displaystyle \tau }$ est

${\displaystyle \tau ={\frac {M_{\text{t}}\,R}{I_{0}}}}$.

On peut obtenir l'allure de la déformée de la poutre en flexion à partir de l'équation différentielle

${\displaystyle y''(x)=-{\frac {M_{\text{fz}}(x)}{E\,I_{\text{gz}}}}}$

En intégrant 2 fois, et en déterminant les constantes selon les conditions aux limites, il est possible de trouver la forme de la déformée de la poutre en flexion.

Références théoriques

• La contrainte normale ${\displaystyle \sigma }$ : contrainte
• L’allongement relatif ${\displaystyle \varepsilon }$ : tenseur des déformations
• Le déplacement latéral relatif ${\displaystyle \gamma }$ : tenseur des déformations
• Le module d’élasticité longitudinal ${\displaystyle E}$ ou module de Young : module de Young
• Le module de cisaillement ${\displaystyle G}$ ou le module d’élasticité tangentiel ou encore module de glissement : module de cisaillement
• Le coefficient de Poisson ${\displaystyle \nu }$ : coefficient de Poisson

Dans la résistance des matériaux, les contraintes normales ne sont dues qu'à l'effort normal et aux moments de flexion. Dans la théorie des poutres, les contraintes normales dans une section droite sont calculées dans un repère Gxyz où G est le centre de gravité de la section droite, l'axe Gx est tangent à la fibre neutre de la poutre, les repères Gy et Gz sont les axes principaux d'inertie.

Les contraintes normales dans ce repère peuvent être ramenées à des calculs simples ne faisant intervenir que les caractéristiques géométriques de la section droite :

Superposition des contraintes de flexion en flexion déviée.

• la surface de la section droite, notée S
• les inerties ${\displaystyle I}$ calculées par rapport aux deux axes principaux Gy et Gz : Moment quadratique plus couramment appelé moment d'inertie ou inertie calculé dans chaque axe principal d'inertie, notés I_Gy ou I_y et I_Gz ou I_z.

Pour une section droite symétrique par rapport à un axe principal d'inertie Gy, l'axe Gy est en général l'axe vertical. Il est possible de calculer les contraintes maximales en ne faisant intervenir que les distances maximales du contour de la section droite aux axes principaux d'inertie du repère Gyz.

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {S} }}-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y+{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} y}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} y}}}\cdot z}$

Cas simple d'une poutre uniformément chargée : réactions aux appuis, efforts tranchants (V(x)) et moments fléchissants (M(x)).

La poutre est généralement composée d'un matériau isotrope homogène et chargée dans son plan moyen, vertical le plus souvent. Dans ces conditions, l'ensemble des efforts extérieurs appliqué d'un côté d'une section droite quelconque se ramène à :

• un effort longitudinal de compression ou traction : l'effort normal ;
• un effort normal de cisaillement : l'effort tranchant ;
• un moment fléchissant.

Ce sont les éléments de réduction des charges extérieures au droit de la section considérée.

Un cas simple est constitué par une poutre droite, horizontale, de section constante, chargée uniformément et reposant sur deux appuis simples. Si on désigne par ${\displaystyle p}$ la charge constante et linéaire, et par ${\displaystyle \ell }$ la longueur de la poutre, la détermination des éléments de réduction des efforts tient en quelques formules simples :

• la réaction à chaque appui est une force verticale, égale à la moitié de la charge totale soit ${\displaystyle {\tfrac {p\,\ell }{2}}}$,
• l'effort tranchant varie linéairement de ${\displaystyle +{\tfrac {p\,\ell }{2}}}$ à ${\displaystyle -{\tfrac {p\,\ell }{2}}}$ avec une valeur nulle en milieu de travée. On doit vérifier que la contrainte de cisaillement au voisinage de l'appui reste inférieure à la résistance au cisaillement du matériau,
• Le moment fléchissant est nul sur appui et maximum en milieu de travée où il vaut ${\displaystyle {\tfrac {p\,\ell ^{2}}{8}}}$. On doit vérifier que les contraintes dans la section à mi-travée ne dépassent ni la résistance à la compression, ni la résistance à la traction du matériau.

• Henry Lossier, Les progrès des théories de la résistance des matériaux et leur application à la construction des ponts, p. 183-189, Le Génie civil, Numéro spécial du Cinquantenaire 1880-1930, Novembre 1930 (lire en ligne).
• Albert Caquot, Idées actuelles sur la résistance des matériaux, p. 189-192, Le Génie civil, Numéro spécial du Cinquantenaire 1880-1930, Novembre 1930 (lire en ligne).
• (en) Stephen Timoshenko, History of strength of materials, Dover publications, New York, 1983 ; p. 452 (ISBN 0-486-61187-6).

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• RDM : cours d'initiation en pdf.
• Calculs simples en ligne.
• Dates clef de l'histoire de la RdM, Y. Debard.
• Logiciel libre pyBar.
• Introduction à la résistance des matériaux.
• Calcul statique linéaire pour poutres, Guide de validation des progiciels de calcul de structure, ICAB.
• , Cours résistance des matériaux G. R. Nicolet.

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