Noyau (algèbre)

Le noyau d'un morphisme de groupes f d'un groupe G vers un groupe H se compose de tous les éléments de G qui sont envoyés par f sur l'élément neutre e_H de H. Formellement :

${\displaystyle \ker(f)=\{x\in G\mid f(x)=e_{H}\}.}$

Le noyau est un sous-groupe distingué de G.

L'un des théorèmes d'isomorphisme énonce que le groupe quotient G/ker(f) est isomorphe à l'image de f. Cet isomorphisme est induit par f lui-même. Une proposition légèrement plus générale est le théorème de factorisation des morphismes.

Le morphisme de groupes f est injectif si et seulement si son noyau est le groupe trivial.

D'après les propriétés de l'image réciproque, le noyau d'un morphisme composé ${\displaystyle g\circ f}$ est égal à :

${\displaystyle \ker(g\circ f)=f^{-1}(\ker(g)).}$

Si f est une application linéaire d'un espace vectoriel V dans un espace vectoriel W, alors le noyau de f est défini par

${\displaystyle \ker(f)=\{x\in V\mid f(x)=0_{W}\}.}$

Le noyau est un sous-espace de l'espace vectoriel V, et l'espace vectoriel quotient V/ker(f) est isomorphe à l'image de f ; en particulier, le théorème du rang relie les dimensions :

${\displaystyle \dim \ker(f)=\dim V-\dim \operatorname {im} (f).}$

L'application linéaire f est injective si et seulement si ker(f) = {0}.

Si V et W sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et p, et si des bases de ces espaces sont données, alors f peut être représentée par une matrice ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}_{p,n}(K)}$, et le noyau peut être déterminé en résolvant le système homogène d'équations linéaires M X = 0.

Dans cette représentation, les solutions de ce système correspondent aux coordonnées des vecteurs du noyau de f, mais aussi aux vecteurs du noyau de l'application linéaire canoniquement associée à la matrice M.

La dimension du noyau est donnée par le nombre de colonnes de M moins le rang de M.

Le résolution d'équations différentielles homogènes mène souvent à la détermination du noyau d'une certaine application linéaire.

Par exemple, si l'on désire déterminer les fonctions deux fois dérivables f de R dans R telles que

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ xf''(x)+3f'(x)=f(x)\ ,}$

il faut considérer le noyau de l'application linéaire ${\displaystyle \varphi :V\to W}$, où V est l'espace vectoriel de toutes les fonctions deux fois dérivables de R dans R, W l'espace vectoriel de toutes les fonctions de R dans R, et l'image par ${\displaystyle \varphi }$ d'un élément f de V définie par la condition

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ (\varphi (f))(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x).}$

Le noyau d'un morphisme d'anneaux f d'un anneau A dans un anneau B se compose de tous les éléments x de A pour lesquels f ( x ) = 0. Formellement :

${\displaystyle \ker(f)=\{x\in A\mid f(x)=0_{B}\}.}$

Le noyau est un idéal bilatère de A.

Le théorème d'isomorphisme mentionné ci-dessus pour des groupes et des espaces vectoriels reste valable dans le cas des anneaux.

Le noyau d'un morphisme de corps (c'est-à-dire un morphisme d'anneaux où les anneaux considérés sont des corps) est toujours réduit à l'élément neutre 0, de sorte que tout morphisme de corps est injectif.

Sur un espace vectoriel réel E, une forme quadratique est une application polynomiale ${\displaystyle q:V\rightarrow R}$ qui est homogène de degré 2. Elle est associée à la forme bilinéaire symétrique

${\displaystyle B(u,v)={\frac {q(u+v)-q(u-v)}{4}}}$.

Le noyau de q est le sous-espace vectoriel

${\displaystyle N=\{v\in E\mid \forall w,B(v,w)=0\}\,.}$

La contraction de B par v désigne l'application linéaire ${\displaystyle \iota (v)B:w\mapsto B(v,w)}$, et N apparaît comme le noyau de l'application linéaire

${\displaystyle v\mapsto \iota (v)B.}$

L'image est un sous-espace vectoriel de l'espace dual E* qui est l'annulateur du noyau N.

Toutes ces notions de noyaux se généralisent dans le cadre de la théorie des catégories abéliennes.

La fonction exponentielle complexe exp est un exemple de morphisme de groupes, de (ℂ, +) dans (ℂ*, ×). Son noyau est l'ensemble des nombres complexes z tels que e^z = 1.

En notant ${\displaystyle x=\Re (z)\ {\text{et}}\ y=\Im (z)}$, on obtient

${\displaystyle {\rm {e}}^{z}=1\Leftrightarrow {\rm {e}}^{x+{\rm {i}}y}=1\ \Leftrightarrow {\rm {e}}^{x}\times {\rm {e}}^{{\rm {i}}y}=1\ \Leftrightarrow {\begin{cases}{\rm {e}}^{x}=1\\y=0\ \left[2\pi \right]\end{cases}}\ \Leftrightarrow {\begin{cases}x=0\\y\in 2\pi \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

d'où

${\displaystyle \ker(\exp )={\rm {i}}2\pi \mathbb {Z} .}$

• Lemme des noyaux
• Limite projective

• Portail de l’algèbre