Métrique de Minkowski

En physique théorique, le formalisme quadridimensionnel utilisé pour l'étude de l'espace-temps utilise le vecteur de position espace-temps ${\displaystyle x}$ représenté par[1] :

${\displaystyle x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(x^{0},x)=(t,x)}$

• où les ${\displaystyle x^{\mu }}$ sont les composantes contravariantes du tenseur (et ${\displaystyle x_{\mu }=(x^{0},-x)}$ sont les composantes covariantes).

Si on note ${\displaystyle e_{\mu }}$ les vecteurs de base, alors le vecteur ${\displaystyle A}$ de composantes contravariantes ${\displaystyle A^{\mu }}$ parallèles aux ${\displaystyle e_{\mu }}$ s'écrit, selon la convention d'Albert Einstein :

${\displaystyle A=\sum _{\mu =0}^{3}A^{\mu }e_{\mu }=A^{\mu }e_{\mu }}$.

Le produit scalaire de deux quadrivecteurs ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ peut alors se noter :

${\displaystyle A\cdot B\equiv A^{\mu }e_{\mu }\cdot B^{\nu }e_{\nu }=A^{\mu }B^{\nu }g_{\mu \nu }}$

• où ${\displaystyle g_{\mu \nu }\equiv e_{\mu }\cdot e_{\nu }}$ est le tenseur métrique (ou la métrique).

Pour deux événements séparés dans l'espace par ${\displaystyle \Delta x}$, ${\displaystyle \Delta y}$, et ${\displaystyle \Delta z}$, et dans le temps par ${\displaystyle \Delta t}$, on définit entre eux la quantité invariante de Lorentz par la forme différentielle[1] :

${\displaystyle \tau ^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

qui peut aussi s'écrire :

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=-c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}$.

Où ${\displaystyle \tau ^{2}}$ est obtenu avec ${\displaystyle (y-x)\cdot (y-x)}$, à partir des deux événements ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$.

Dans le premier cas, en prenant comme norme de vecteurs de base ${\displaystyle e_{\mu }^{2}=\{1}$ si ${\displaystyle \mu =0}$ et ${\displaystyle -1}$ si ${\displaystyle \mu =1,2,3\}}$, alors la métrique s'écrit[2] :

${\displaystyle g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

On dit que cette forme a la signature ${\displaystyle (+---)}$.

Dans le deuxième cas, les signes sont inversés et la métrique s'écrit, en utilisant les composantes covariantes notées en indice :

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Cette forme a la signature ${\displaystyle (-+++)}$.

En résumé, la métrique de Minkowski est définie par l'expression[3]^,[4]^,[5]^,[6] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}}$,

de signature ${\displaystyle \left(+---\right)}$[4] et où :

• ${\displaystyle t}$ est la coordonnée de temps,
• ${\displaystyle x,y,z}$ sont les trois coordonnées d'espace,
• ${\displaystyle \tau }$ est le temps propre,
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière.

La notation ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ est parfois utilisée pour désigner spécifiquement la métrique de Minkowski[7].

Soient deux événements distincts dans l'espace-temps notés ${\displaystyle {\widetilde {x}}=x^{\mu }e_{\mu }=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)}$ ainsi que ${\displaystyle {\widetilde {y}}=y^{\nu }e_{\nu }=\left(y^{0},y^{1},y^{2},y^{3}\right)}$. Le produit scalaire dans l'espace de Minkowski s'écrit :

${\displaystyle {\widetilde {x}}\cdot {\widetilde {y}}=\left(x^{\mu }e_{\mu }\right)\cdot \left(y^{\nu }e_{\nu }\right)=\left(x^{\mu }y^{\nu }\right)\left(e_{\mu }\cdot e_{\nu }\right)}$

où le produit scalaire des vecteurs de base s'écrit :

${\displaystyle e_{\mu }\cdot e_{\nu }\equiv g_{\mu \nu }}$.

La forme quadratique ${\displaystyle Q({\widetilde {x}})={\widetilde {x}}^{2}}$ est de genre temps lorsque ${\displaystyle {\widetilde {x}}^{2}>0}$, de genre lumière lorsque ${\displaystyle {\widetilde {x}}^{2}=0}$ et de genre espace lorsque ${\displaystyle {\widetilde {x}}^{2}<0}$. Soit une transformation de Lorentz ${\displaystyle L}$, l'intervalle d'espace-temps est invariant de Lorentz d'un référentiel galiléen à un autre, soit ${\displaystyle Q({\widetilde {x}})=Q(L({\widetilde {x}}))=Q({\widetilde {x}}^{\prime })}$. Il est à noter que toute métrique, quelle qu'elle soit, peut être décrite par la métrique de Minkowski dans un système de coordonnées géodésiques locales.

Le tenseur métrique ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ et son inverse ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ coïncident[2] :

${\displaystyle g_{\mu \nu }=(g_{\mu \nu })^{-1}=g^{\mu \nu }}$

et

${\displaystyle g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4}$.