Intégrale de Fresnel

Considérons pour tout réel ${\displaystyle t}$ la fonction de ℝ⁺ dans ℂ définie par

${\displaystyle u\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }.}$

Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ⁺ et majorée en module par ${\displaystyle u\mapsto {\tfrac {1}{u^{2}}}}$, qui est intégrable en +∞.

Il est donc possible de poser ${\displaystyle f}$, la fonction définie pour tout ${\displaystyle t}$ par l'intégrale à paramètre suivante :

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}}}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u.}$

On montre que ${\displaystyle f}$ est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C¹ sur ℝ⁺* avec

Démonstration

On applique le théorème de convergence dominée.

• Continuité sur ℝ et nullité à l'infini
  • Pour tout u ∈ ℝ⁺*, la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }}$ est continue et nulle à l'infini.
  • Pour tout réel t, la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} ,\ u\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }}$ est continue donc mesurable.
  • Condition de domination : ${\displaystyle \forall (t,u)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+},~\left|{{\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}}} \over {u^{2}+\mathrm {i} }}\right|\leq {\frac {1}{\sqrt {1+u^{4}}}}}$ et la fonction ${\displaystyle u\mapsto {\tfrac {1}{\sqrt {1+u^{4}}}}}$ est intégrable sur ℝ⁺.
  • Conclusion : ${\displaystyle f}$ est continue sur ℝ et nulle à l'infini.
• Classe C¹ sur ℝ⁺* et valeur de la dérivée.
  • Pour tout u ∈ ℝ⁺, la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}\rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }}$ est dérivable et sa dérivée, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}\rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]},}$ est continue.
  • Pour tout t ∈ ℝ⁺*, la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} ,\ u\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}}$ est mesurable.
  • Condition de domination : confinons le paramètre ${\displaystyle t}$ à l'intervalle ${\displaystyle ]a,b[}$ avec ${\displaystyle 0<a<b}$. ${\displaystyle \forall (t,u)\in ]a,b[\times \mathbb {R} ^{+},~\left|-2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}\right|\leq 2b~\mathrm {e} ^{-u^{2}a^{2}}}$ et la fonction ${\displaystyle u\mapsto 2b~\mathrm {e} ^{-u^{2}a^{2}}}$ est intégrable sur ℝ⁺.
  • Conclusion : ${\displaystyle f}$ est de classe ${\displaystyle C^{1}}$ sur ℝ⁺* et

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ^{+*},~f'(t)=-2t\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}t^{2}}\mathrm {d} u.}$

En simplifiant l'expression de ${\displaystyle f'}$ et en l'intégrant de 0 à +∞, on en déduit que

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u.}$

Démonstration

Le changement de variable v = ut donne, pour tout t ∈ ℝ⁺* :

${\displaystyle f'(t)=-2\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-v^{2}}~\mathrm {d} v.}$

L'intégrale définie est l'intégrale de Gauss, qui vaut ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}}$. Ainsi, on a une expression plus simple de la dérivée de ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle f'(t)=-{\sqrt {\pi }}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}}$.

Par conséquent :

${\displaystyle 0-\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u=\left(\lim _{t\to +\infty }f(t)\right)-f(0)=\int _{0}^{+\infty }f'(t)~\mathrm {d} t=-{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t.}$

On se sert alors de l'expression ${\displaystyle {\tfrac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}}$ sous la forme ${\displaystyle {\tfrac {u^{2}-\mathrm {i} }{u^{4}+1}}}$ et d'une intégrale classique :

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{u^{2} \over u^{4}+1}~\mathrm {d} u=\int _{0}^{+\infty }{1 \over u^{4}+1}~\mathrm {d} u={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$

pour en déduire que

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\mathrm {i} }{2}}}$.

Il est aussi possible d'intégrer ${\displaystyle f(z)=\exp(-z^{2})}$ sur le bord du secteur circulaire ${\displaystyle T_{R}}$ de sommets ${\displaystyle 0,~R,~{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+\mathrm {i} )~R}$ puis de faire tendre ${\displaystyle R}$ vers l'infini.

Contour utilisé pour le calcul.

${\displaystyle \oint f(z)\,\mathrm {d} z=\underbrace {\int _{0}^{R}\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} _{I_{1}(R)}+\underbrace {\int _{0}^{\pi /4}\mathrm {i} R\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\exp(2\mathrm {i} t)}\,\mathrm {d} t} _{I_{2}(R)}-\underbrace {\int _{0}^{R}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t} _{I_{3}(R)}}$

Intéressons nous d'abord à ${\displaystyle I_{2}}$.

${\displaystyle |I_{2}(R)|\leq \int _{0}^{\pi /4}R\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos(2t)}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {R}{2}}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\,\mathrm {d} u}$

après un changement de variable ${\displaystyle u=2t}$. Or, sur ${\displaystyle \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]}$, la concavité de ${\displaystyle \cos }$ donne

${\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad 1-{\dfrac {2}{\pi }}u\leq \cos u\leq 1}$

donc

${\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad \mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\leq \,\mathrm {e} ^{R^{2}\left({\frac {2}{\pi }}u-1\right)}}$

donc

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {R}{2}}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\,\mathrm {d} u\leq {\dfrac {\pi }{4R}}\left(1-\mathrm {e} ^{-R^{2}}\right)}$

Le théorème des gendarmes donne ainsi ${\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{2}(R)=0}$. Grâce au résultat de l'intégrale de Gauss, ${\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{1}(R)={\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}}$. De plus, ${\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{3}(R)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t}$.

La fonction ${\displaystyle f}$ est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que ${\displaystyle \oint f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

Dès lors,

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t={\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

donc

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}{\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}={\sqrt {\dfrac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\mathrm {i} }{2}}}$.

Remarque

Un calcul identique montre que plus généralement, pour tout nombre complexe ${\displaystyle \beta }$ dont la partie réelle appartient à ${\displaystyle \left[0,1\right[}$,

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }t^{\beta }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}(\beta +1)}{\dfrac {\Gamma \left({\frac {\beta +1}{2}}\right)}{2}},}$

où ${\displaystyle \Gamma }$ désigne la fonction gamma. En adaptant le choix du contour, on peut même démontrer cette égalité pour ${\displaystyle \mathrm {Re} (\beta )\in \left]-1,1\right[}$, ce qui, par changement de variable (voir supra), équivaut au calcul du § « Exemple » de l'article sur le théorème intégral de Cauchy.