Hypographe

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathbb {E}$ à valeurs dans la droite réelle achevée ${\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ . L'hypographe de $f$ est l'ensemble noté $\operatorname {hyp} \,f$ et défini par

$\operatorname {hyp} \,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)\geqslant \alpha \}.$

L'hypographe strict de $f$ est l'ensemble noté $\operatorname {hyp} _{s}\,f$ et défini par

$\operatorname {hyp} _{s}\,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)>\alpha \}.$

Exemples d'utilisation

L'hypographe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. Par exemple, si $\mathbb {E}$ est un espace vectoriel, l'application $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ est concave si son hypographe est convexe.

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