Fonction concave
En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe.
Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave » est moins naturelle. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe). C'est pourquoi l'analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, mais pas l'« analyse concave ».
Définitions
Cette définition est équivalente à la définition suivante :
Définition — Une fonction f d'un intervalle réel I vers ℝ est dite concave lorsque, pour tous x1 et x2 de I et tout t dans [0 ; 1] on a :
Cas des fonctions dérivables
On dispose de deux caractérisations :
Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- f est concave si et seulement si sa courbe représentative est en dessous de chacune de ses tangentes ;
- f est concave si et seulement si sa dérivée est décroissante sur I.
On déduit de la seconde caractérisation :
- que toute fonction concave et dérivable (sur un intervalle réel) est de classe C1[1] ;
- le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la concavité d'exemples spécifiques :
Corollaire — Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. f est concave si et seulement si sa dérivée seconde f '' est à valeurs négatives ou nulles.
Exemple de fonctions concaves
Parmi les fonctions concaves simples, on peut citer évidemment par définition les opposées des fonctions réelles convexes, par exemple :
- x ↦ –xn avec n un entier pair ;
- x ↦ –exp(x).
Citons également certaines réciproques de fonctions convexes, par exemple sur ℝ+* :
- la fonction logarithme népérien ;
- la fonction puissance x ↦ xa si 0 ≤ a ≤ 1.
De manière plus générale, les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est toujours négative sont des fonctions concaves. Mais une fonction concave n'est pas nécessairement dérivable, comme en témoigne la fonction x ↦ –|x|.
Article connexe
Références
- Énoncé dans Jacques Douchet, Analyse : recueil d'exercices et aide-mémoire, vol. 1, PPUR, , 3e éd. (1re éd. 2003) (lire en ligne), p. 77 (prop. 5.44) et démontré dans cet . Pour une généralisation aux fonctions convexes d'une variable vectorielle, voir (en) Jean-Paul Penot, Calculus Without Derivatives, coll. « GTM » (no 266), (lire en ligne), p. 202-203.
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