Espace semimétrique

En mathématiques, la notion d'espace semimétrique est une généralisation de celle d'espace métrique dans laquelle on n'impose pas l'inégalité triangulaire. Dans les traductions de textes russes, le terme semimétrique est parfois remplacé par symétrique.

En analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semimétrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique, parce que toute semi-norme induit une fonction pseudométrique (i.e. un écart à valeurs finies).

Définition

Une semimétrique (ou fonction semimétrique) sur un ensemble $E$ est une application

\mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}

telle que pour tout $x,y,z\in E$ ,

$\mathrm {d} \left(x,y\right)=0\iff x=y$ (séparation, ou encore discernabilité) ;
$\mathrm {d} \left(x,y\right)=\mathrm {d} \left(y,x\right)$ (symétrie).

Un espace semimétrique $(E,\mathrm {d} )$ est un ensemble $E$ muni d'une semimétrique $\mathrm {d}$ .

Une semimétrique $\mathrm {d}$ , sur un ensemble $E$ , qui vérifie l'inégalité triangulaire est une distance, auquel cas $(E,\mathrm {d} )$ est un espace métrique.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semimetric space » (voir la liste des auteurs).
(en) A. V. Arkhangelskii et L. S. Pontryagin, General Topology I, Springer, 1990, 202 p. (ISBN 978-3-540-18178-1)
(en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995, 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, présentation en ligne)

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