Espace pseudométrique

Une pseudométrique sur un ensemble ${\displaystyle X}$ est une application

${\displaystyle \mathrm {d} :X\times X\to \mathbb {R} _{+}}$

telle que pour tout ${\displaystyle x,y,z\in X}$,

1. ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,x\right)=0}$ ;
2. ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,y\right)=\mathrm {d} \left(y,x\right)}$ (symétrie) ;
3. ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,z\right)\leq \mathrm {d} \left(x,y\right)+\mathrm {d} \left(y,z\right)}$ (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudométrique est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudométrique est un ensemble muni d'une pseudométrique.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir ${\displaystyle \mathrm {d} (x,y)=0}$ pour des points distincts ${\displaystyle x\neq y}$.

• Si ${\displaystyle \mathrm {d} }$ est un écart sur un ensemble ${\displaystyle X}$, alors ${\displaystyle \min(1,\mathrm {d} )}$ est une pseudométrique sur ${\displaystyle X}$ ;
• Si ${\displaystyle p}$ est une semi-norme sur un espace vectoriel ${\displaystyle V}$, alors ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,y\right)=p\left(x-y\right)}$ est une pseudométrique sur ${\displaystyle V}$. Réciproquement, toute pseudométrique invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme. Un exemple concret d'une telle situation est sur l'espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{X}}$ des fonctions à valeurs réelles ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ : en choisissant un point ${\displaystyle x_{0}\in X}$, on peut définir une pseudométrique par ${\displaystyle \mathrm {d} \left(f,g\right)=|f\left(x_{0}\right)-g\left(x_{0}\right)|}$.

La topologie pseudométrique[1] associée à une pseudométrique ${\displaystyle \mathrm {d} }$ est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

${\displaystyle B_{r}\left(p\right)=\{x\in X\mid \mathrm {d} \left(p,x\right)<r\}}$.

Un espace topologique est dit « pseudométrisable » s'il existe une pseudométrique dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : Un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudométrisable et T₀.

En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudométrique, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

${\displaystyle x\sim y\iff \mathrm {d} \left(x,y\right)=0}$,

et l'on obtient une distance ${\displaystyle \mathrm {d} ^{*}}$ sur ${\displaystyle X^{*}=X/\sim ~}$ en posant :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{*}\left(\left[x\right],\left[y\right]\right)=\mathrm {d} \left(x,y\right)}$.

La topologie de l'espace métrique ${\displaystyle (X^{*},\mathrm {d} ^{*})}$ est la topologie quotient de celle de ${\displaystyle (X,\mathrm {d} )}$.

• (en) A. V. Arkhangelskii et L. S. Pontryagin, General Topology I, Springer, 1990, 202 p. (ISBN 978-3-540-18178-1)
• (en) Eric Schechter (en), Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997, 883 p. (ISBN 978-0-08-053299-8, lire en ligne)
• Laurent Schwartz, Cours d'analyse, vol. 2, Hermann, 1981, 475 p. (ISBN 978-2-7056-5765-9)
• (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995, 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 34

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