Espace quasimétrique

Une quasimétrique (ou fonction quasimétrique) sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est une application

${\displaystyle \mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}}$

telle que pour tout ${\displaystyle x,y,z\in E}$,

1. ${\displaystyle \mathrm {d} (x,y)=0\iff x=y}$ (séparation) ;
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (x,z)\leq \mathrm {d} (x,y)+\mathrm {d} (y,z)}$ (inégalité triangulaire) ;

Un espace quasimétrique ${\displaystyle \left(E,\mathrm {d} \right)}$ est un ensemble ${\displaystyle E}$ muni d'une quasimétrique ${\displaystyle \mathrm {d} }$.

Remarques :

• Une quasimétrique symétrique est une distance.
• Toute quasimétrique ${\displaystyle \mathrm {d} }$ induit une distance ${\displaystyle \mathrm {d} '}$ en posant :

${\displaystyle \mathrm {d} '\left(x,y\right)={\frac {\mathrm {d} \left(x,y\right)+\mathrm {d} \left(y,x\right)}{2}}}$.

Considérons un système de routes, dont certaines sont éventuellement à sens unique : la distance d'un endroit à un autre en passant par la route est une quasimétrique.

• (en) « Quasimetric space », sur PlanetMath

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasimetric space » (voir la liste des auteurs).

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