Espace hémimétrique

Une hémimétrique (ou fonction hémimétrique) sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est une fonction

${\displaystyle \mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}}$

telle que pour tout ${\displaystyle x,y,z\in E}$,

1. ${\displaystyle \mathrm {d} (x,x)=0}$ ;
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (x,z)\leq \mathrm {d} (x,y)+\mathrm {d} (y,z)}$ (inégalité triangulaire).

Un espace hémimétrique ${\displaystyle (E,\mathrm {d} )}$ est un ensemble ${\displaystyle E}$ muni d'une hémimétrique ${\displaystyle \mathrm {d} }$.

• Une hémimétrique symétrique est un écart, ce qui définit un espace pseudométrique.
• Une hémimétrique qui distingue deux points (i.e. qui vérifie la propriété de séparation) est une quasimétrique, ce qui définit un espace quasimétrique.
• Une hémimétrique qui vérifie à la fois ces deux propriétés est une distance, qui définit un espace métrique. En durcissant l'inégalité triangulaire, on obtient même un espace ultramétrique, utilisé notamment en classification automatique.

Une hémimétrique induit une topologie sur ${\displaystyle E}$. Une base d'ouverts de cette topologie est donnée par l'ensemble :

${\displaystyle \{B_{r}\left(x\right):x\in E,r>0\},}$

où ${\displaystyle B_{r}\left(x\right)=\{y\in E:\mathrm {d} (x,y)<r\}}$ est la boule ouverte de rayon ${\displaystyle r}$ centrée en ${\displaystyle x}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hemimetric space » (voir la liste des auteurs).

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