Ellipsoïde

Dans un repère cartésien en trois dimensions, l'équation d'une surface quadratique est ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\,\mathbf {x} +B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +C=0}$ où la matrice A est, par construction, une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral, elle est diagonalisable et ses valeurs propres sont toutes réelles. Si ces trois valeurs propres sont strictement positives (ou strictement négatives), c'est-à-dire que A est de signature (3, 0) (ou (0, 3)), cette équation définit une quadratique type ellipsoïde. À condition éventuellement de changer tous les coefficients de l'équation par leur opposé, la matrice A est alors définie positive. Le déterminant de A n'étant pas nul, la quadratique possède un centre dont les coordonnées sont ${\displaystyle \mathbf {v} =-{\frac {1}{2}}A^{-1}B,}$ et son équation s'écrit sous la forme : ${\displaystyle \left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=k}$ avec ${\displaystyle k={\frac {1}{4}}B^{\mathsf {T}}A^{-1}B-C.}$

Si k est strictement positif, l'ellipsoïde (centré en v et arbitrairement orienté) est alors l'ensemble des points x vérifiant l'équation :

${\displaystyle \left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A_{1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=1}$

où A₁ est réelle, définie positive.

De plus, les vecteurs propres de A₁ définissent les axes de l'ellipsoïde et les valeurs propres de A₁ sont égales à l'inverse du carré des demi-axes (c'est-à-dire 1/a², 1/b² et 1/c²)[1]. Les valeurs singulières de A₁, étant égales aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.

Un ellipsoïde peut être paramétré de différentes manières. Une des possibilités, en choisissant l'axe z, est la suivante : ${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos(\theta )\cos(\phi )\\y=b\cos(\theta )\sin(\phi )\\z=c\sin(\theta )\end{cases}}}$ où ${\displaystyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\quad {\rm {et}}\quad -\pi \leq \phi \leq \pi .}$ Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques. Pour un θ constant, nous obtenons une ellipse qui est l'intersection de l'ellipsoïde et d'un plan z = k. Le paramètre ϕ correspond alors à l'anomalie excentrique de cette ellipse. Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation. Seuls les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la latitude réduite.

En géométrie projective^{[réf. nécessaire]}, l'équation d'un ellipsoïde imaginaire est de la forme

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+1=0.}$

L'équation genre ellipsoïde, cône imaginaire :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}$

Un ellipsoïde est dit triaxial si ses trois demi-axes sont différents.

Dans le cas où seuls deux demi-axes sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, parfois appelé sphéroïde, permettant d'obtenir les miroirs elliptiques des projecteurs de cinéma et les ballons de rugby. On montre aussi que cette surface est optimale pour les dirigeables.

En prenant a = b, l'équation s'écrit :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0.}$

On obtient un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. En effet, les sections par les plans z = k sont des cercles d'axe Oz.

• Si ${\displaystyle a=b<c}$, l’ellipsoïde est dit prolate (c'est-à-dire, allongé).
• Si ${\displaystyle a=b=c}$, l’ellipsoïde est une sphère.
• Si ${\displaystyle a=b>c}$, l’ellipsoïde est dit oblate (c'est-à-dire, aplati).

La méridienne dans le plan xOz que l'on obtient avec y = 0 est l'ellipse d'équation :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0.}$

On remarque que l'on passe de l'équation de la méridienne à l'équation de la surface de révolution en remplaçant x² par x² + y².

Dans le cas dégénéré où a = b = c, l'ellipsoïde est une sphère de rayon a.

Le volume de l'espace délimité par un ellipsoïde est égal à : ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc={\frac {4\pi }{3}}{\sqrt {\det \left({A_{1}}^{-1}\right)}}.}$

Cette formule donne le volume d'une boule de rayon a dans le cas où les trois demi-axes sont de la même longueur.

Les volumes du plus grand parallélépipède rectangle inscrit et du plus petit parallélépipède rectangle circonscrit sont donnés par les formules suivantes : ${\displaystyle V_{\max }={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc\quad {\rm {et}}\quad V_{\min }=8abc.}$

L'aire d'un ellipsoïde quelconque est donnée par la formule[2]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\phi )}}\left(E(\phi ,k)\sin ^{2}(\phi )+F(\phi ,k)\cos ^{2}(\phi )\right),}$

où

${\displaystyle \cos(\phi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

et où F(ϕ , k) et E(ϕ , k) sont les intégrales elliptiques incomplètes de première et deuxième espèce respectivement[3] :

${\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}},\quad E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}~\mathrm {d} \theta .}$

Si a ≥ b ≥ c (c'est-à-dire si a est la longueur du plus grand demi-axe et c est la longueur du plus petit demi-axe), l'excentricité de l'ellipsoïde est donnée par la formule suivante :

${\displaystyle e={{\sqrt {a^{2}-c^{2}}} \over a}.}$

Une ellipsoïde de densité uniforme ρ possède la masse suivante :

${\displaystyle m=\rho V={\frac {4\pi \rho }{3}}abc}$

Les moments d'inertie dans le système des axes principaux sont :

${\displaystyle I_{xx}={\frac {m}{5}}(b^{2}+c^{2})}$

${\displaystyle I_{yy}={\frac {m}{5}}(a^{2}+c^{2})}$

${\displaystyle I_{zz}={\frac {m}{5}}(a^{2}+b^{2})}$

Les produits d'inertie sont tous nuls dans ce système d'axe :

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{xz}=I_{zx}=I_{yz}=I_{zy}=0}$