Intégrale elliptique

Les intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique : comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique,...)[1].

Forme générale

Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme

f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\;\mathrm {d} t

où $R$ est une fonction rationnelle à deux variables, $P$ est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et $c$ est une constante.

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques[2] :

{\begin{aligned}(1)&\quad \int {\frac {1}{\sqrt {(At^{2}+B)(A't^{2}+B')}}}~\mathrm {d} t\\(2)&\quad \int {\frac {t^{2}}{\sqrt {(At^{2}+B)(A't^{2}+B')}}}~\mathrm {d} t\\(3)&\quad \int {\frac {1}{1+Nt^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(At^{2}+B)(A't^{2}+B')}}}~\mathrm {d} t\end{aligned}}

appelées respectivement intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce. Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce (ce qui justifie en partie le nom d'intégrale elliptique) ; l'aire d'un ellipsoïde est une combinaison d'intégrales elliptiques de première et de seconde espèce[1].

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux fonctions inverses de ces intégrales.

Paramétrisation

Les intégrales elliptiques sont caractérisées par un paramètre, qu'on peut définir de façon équivalente comme :

l'angle modulaire $α$
le module elliptique ou excentricité $k =sin(α)$
le paramètre $m = k 2 =sin 2 (α)$

L'utilisation d'une écriture ou d'une autre n'altère pas la nature de l'intégrale.

Intégrales elliptiques incomplètes

Des variantes dans les notations existent. On prendra garde en particulier à la présence ou non d'un point-virgule entre la variable et le module.

Première espèce

Les intégrales elliptiques de première espèce s'écrivent sous la forme :

F(\varphi ,k)=F(\varphi \,|\,k^{2})=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.

Cette forme est appelée forme trigonométrique ; en faisant les changements de variables $t =sin(θ), x =sin(φ)$ , on obtient la forme de Jacobi :

F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})\cdot (1-k^{2}t^{2})}}}.

En utilisant l'angle modulaire :

F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.

Cette intégrale permet de définir les fonctions elliptiques de Jacobi. Ainsi, la fonction $sn$ est définie comme réciproque de $F$ :

F(x;k)=u\iff x=\mathrm {sn} (u,k)

Deuxième espèce

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce s'écrivent sous la forme trigonométrique :

E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta .

Leur forme de Jacobi est :

E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.

De même, avec l'angle modulaire :

E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .

On a une fois encore un lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi

E(\mathrm {sn} (u;k);k)=\int _{0}^{u}\mathrm {dn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w=u-k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {sn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w=(1-k^{2})u+k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {cn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w.

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude $φ$ est donnée par $E$ :

m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),

où $a$ est le grand axe de l'ellipse, et $e$ son excentricité.

Troisième espèce

Les intégrales elliptiques de troisième espèce $Π$ s'écrivent sous la forme trigonométrique :

\Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}

ou

\Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}.

Le nombre $n$ est appelé la caractéristique et peut prendre n'importe quelle valeur, indépendamment des autres arguments. On remarquera cependant que $\Pi (1;{\tfrac {\pi }{2}}\,|\,m)$ est infini, quel que soit $m$ .

Le lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi s'écrit dans ce cas

\Pi (n;\,\mathrm {am} (u;k);\,k)=\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} w}{1-n\,\mathrm {sn} ^{2}(w;k)}}.

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude $φ$ peut également s'exprimer grâce à $Π$ :

m(\varphi )=a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi \,|\,e^{2}).

Intégrales elliptiques complètes

Les versions « complètes » des intégrales elliptiques correspondent aux cas d'amplitude $φ= π / 2$ soit $x =1$ .

Première espèce

Les intégrales elliptiques de première espèce $K$ sont définies par

K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F\left(1;k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},

On peut utiliser son développement en série entière :

K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }[P_{2n}(0)]^{2}k^{2n},

où les P_n sont les polynômes de Legendre, ce qui donne pour les premiers termes

K(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}+\cdots \right\},

avec $n!!$ la factorielle double de $n$ .

Pour le calcul, il peut être intéressant[3] de faire le lien avec la moyenne arithmético-géométrique :

K(k)={\frac {\pi /2}{\operatorname {agm} (1-k,1+k)}}

.

Deuxième espèce

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce $E$ sont définies par

E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\mathrm {d} t

.

Pour une ellipse de grand axe $a$ et de petit axe $b$ , donc d'excentricité $e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}$ , l'intégrale elliptique de deuxième espèce $E (e)$ donne un quart du périmètre de l'ellipse $c$ mesurée respectivement à $a$ . En clair :

c=4aE(e)

.

On a également un développement en série entière :

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.

Troisième espèce

Les intégrales elliptiques de troisième espèce $Π$ peuvent être définies par :

\Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.

Elles peuvent parfois être définies avec l'opposée de la caractéristique $n$ ,

\Pi '(n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliptic integral » (voir la liste des auteurs).

(en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven, Yale University Press, 1969, 253 p. (ISBN 978-0-486-65258-0)
E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, p. 515.
(en) « Evaluation of the complete elliptic integrals by the agm method », sur University of Florida, Department of Mechanical and Aerospace Engineering.

Voir aussi

Bibliographie

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications chapitre VII (Gauthier-Villars, Paris, 1897)
Alfred George Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications chapitre II (G. Carré, Paris, 1895)
(en) Louis V. King, On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals, Cambridge University Press, 1924 (lire en ligne)
Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes (Huzard-Courcier, Paris, 1828)
(en) Benjamin Osgood Pierce, A short table of integrals p. 66 (Ginn & co., Boston, MA, 1899)

Articles connexes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integrals », sur MathWorld, dont :

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[:0-1] (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven, Yale University Press, 1969, 253 p. (ISBN 978-0-486-65258-0)

[2] E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, p. 515.

[3] (en) « Evaluation of the complete elliptic integrals by the agm method », sur University of Florida, Department of Mechanical and Aerospace Engineering.