Intégrale non élémentaire

En mathématiques, une intégrale non élémentaire est une intégrale qui n'a aucune formule en termes de fonctions élémentaires.

L'existence de telles fonctions a été démontrée par Joseph Liouville en 1835.

Parmi les intégrales non élémentaires, on peut citer

• ${\displaystyle R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)}$ où R est une fonction rationnelle à deux variables, P est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples, qui donnent les intégrales elliptiques ;
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$, qui donne le logarithme intégral ;
• ${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$, à l'origine de la loi normale.