Effet Doppler

Supposons que l’émetteur et le récepteur se déplacent sur une même droite. Il y a trois référentiels galiléens à considérer  :

1. Le référentiel du milieu dans lequel se propage l’onde (par exemple l’atmosphère pour une onde sonore). On note c la célérité de l’onde dans ce référentiel (ce n’est pas forcément la vitesse de la lumière).
2. Le référentiel lié à l’émetteur (source) : appelons v_em la vitesse algébrique de l’émetteur (source) par rapport au référentiel (1).
3. Le référentiel lié au récepteur : appelons v_rec la vitesse du récepteur par rapport au référentiel (1).

Par convention, les vitesses seront comptées comme positives suivant la direction et dans le sens de propagation du signal (de l’émetteur vers le récepteur). Ainsi une vitesse v_em positive et v_rec négative correspondra à un rapprochement entre source et récepteur tandis qu’une vitesse v_em négative et v_rec positive correspondra à un éloignement.

Si ƒ_em est la fréquence de l’onde dans le référentiel de la source, alors le récepteur va recevoir une onde de fréquence ƒ_rec

${\displaystyle f_{rec}={\frac {c-v_{rec}}{c-v_{em}}}\cdot f_{em}={\frac {1-(v_{rec}/c)}{1-(v_{em}/c)}}\cdot f_{em}}$

En effet, supposons que la source émette des bips à une fréquence ƒ_em et que le mouvement relatif entre émetteur et récepteur se fasse selon la droite les joignant. Lorsque le deuxième bip est produit, le premier bip a parcouru une distance

d₀ = c·T_em

dans le référentiel (1), avec T_em = 1/ƒ_em. La source s’étant déplacée de v_em·T_em pendant le temps T_em, la distance séparant deux bips est

d₁ = (c - v_em)·T_em.

Calculons le temps T_rec séparant la détection des deux bips par le récepteur. Ce dernier reçoit le premier bip. Au bout de ce temps T_rec, il a parcouru la distance v_rec·T_rec au moment où il reçoit le deuxième bip. Durant ce laps de temps T_rec, le deuxième bip aura donc parcouru la distance

d₂ = d₁ + v_rec·T_rec = c·T_rec,

ce qui donne bien :

${\displaystyle f_{rec}={1 \over T_{rec}}={c-v_{rec} \over d_{1}}={c-v_{rec} \over c-v_{em}}\cdot {1 \over T_{em}}={c-v_{rec} \over c-v_{em}}\cdot f_{em}}$

Si seule la source est mobile par rapport au référentiel (v_rec = 0), on a alors :

${\displaystyle f_{rec}={\frac {c}{c-v_{em}}}\cdot f_{em}={\frac {1}{1-(v_{em}/c)}}\cdot f_{em}}$

et si seul le récepteur est mobile par rapport au référentiel (v_em = 0), on a :

${\displaystyle f_{rec}={\frac {c-v_{rec}}{c}}\cdot f_{em}=\left(1-{\frac {v_{rec}}{c}}\right)\cdot f_{em}}$

Dans le cas classique, il y a dissymétrie dans le décalage fréquentiel selon que l’émetteur ou le récepteur est en mouvement (les fréquences reçues diffèrent par les termes du second ordre pour une même fréquence d’émission). Cette dissymétrie est due à la présence du milieu dans lequel se propagent les ondes, elle est justifiée pour les ondes sonores.

On peut vérifier que la formule: ${\displaystyle f_{rec}={\frac {c-v_{rec}}{c-v_{em}}}\cdot f_{em}={\frac {1-(v_{rec}/c)}{1-(v_{em}/c)}}\cdot f_{em}}$ résulte directement de l'invariance galiléenne des longueurs (ici la longueur d'onde) qui s'écrit en notant respectivement ${\displaystyle T_{m}}$ et ${\displaystyle cT_{m}=\lambda _{m}}$ la période et la longueur d'onde dans le référentiel du milieu de propagation au repos: ${\displaystyle ({c-v_{rec}})T_{rec}=({c-v_{em}})T_{em}=cT_{m}=\lambda _{m}}$.

La longueur d'onde qui est la même dans les trois référentiels ne dépend que de la vitesse de la source par rapport au référentiel de référence: ${\displaystyle \lambda _{em}=({c-v_{em}})T_{em}=cT_{m}=\lambda _{m}}$.

Dans le cas d’ondes électromagnétiques dans le vide, la vitesse de l’onde est la vitesse de la lumière, elle ne dépend pas du référentiel. On doit alors traiter le problème dans le cadre de la relativité restreinte et on s’attend alors à trouver un effet parfaitement symétrique puisqu’on ne peut pas distinguer entre vitesse de l’émetteur et vitesse du récepteur, seule comptant la vitesse relative entre les deux.

Cependant dans le cas d’ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique, la vitesse de l’onde dépend de la nature du milieu (et notamment de son indice de réfraction) et du référentiel (combinaison de la vitesse de l'onde dans le milieu diélectrique et de la vitesse du milieu diélectrique dans le référentiel considéré) comme le montre l'expérience de Fizeau. Avant de donner la formule de l’effet Doppler relativiste dans le cas général, voici d’abord une démonstration simplifiée rapide de la formule relativiste dans le cas où tous les mouvements se font le long d’un même axe, celui le long duquel se propage le signal. Le principe du calcul consiste à tenir compte de l’effet de dilatation du temps qui accompagne le passage d’un repère au repos à un repère en mouvement.

Changeons de notation avant de passer à une symétrisation du problème. La vitesse entre l’émetteur et le récepteur sera notée v et sera comptée comme positive si elle correspond à une vitesse d’éloignement. C’est la convention généralement adoptée en astronomie pour la vitesse radiale. Par conséquent si la source se déplace seule, sa vitesse des formules antérieures est v_em=-v et si c’est le récepteur qui se déplace seul, sa vitesse est v_rec=+v.

• Considérons d’abord que c’est la source qui se déplace. Si on la calculait par la formule classique précédente, la fréquence du signal à la réception serait

${\displaystyle f_{rec}={\frac {f_{em}}{1+(v/c)}}={\frac {f_{em}}{1+\beta }}\ }$   avec   ${\displaystyle \ \beta =v/c\,.}$

Si on tient compte maintenant du facteur de dilatation du temps de la relativité restreinte

${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}=(1-\beta ^{2})^{-1/2}\ }$

qui augmente les durées mesurées par le récepteur fixe, la fréquence observée diminuera par le facteur inverse ${\displaystyle [1-(v^{2}/c^{2})]^{1/2}}$ de sorte que la fréquence f_rec devient

${\displaystyle f_{rec}={\frac {\sqrt {(1-\beta ^{2})}}{1+\beta }}f_{em}={\frac {1-\beta }{\sqrt {(1-\beta ^{2})}}}f_{em}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}f_{em}\,.}$

• Considérons maintenant que c’est le récepteur qui se déplace. Avec la formule galiléenne nous aurions

${\displaystyle f_{rec}=(1-\beta )f_{em}\ .}$

Comme précédemment, il faut tenir compte du facteur relativiste γ . Ici, c’est le récepteur qui est en mouvement et la source qui est fixe. C’est l’expression de ${\displaystyle f_{em}=f_{rec}/(1-\beta )}$ qui doit être multipliée par ${\displaystyle [1-(v^{2}/c^{2})]^{1/2}}$. Nous obtenons donc la même formule que précédemment :

${\displaystyle f_{rec}={\frac {1-\beta }{\sqrt {(1-\beta ^{2})}}}f_{em}={\frac {\sqrt {(1-\beta ^{2})}}{1+\beta }}f_{em}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}f_{em}\ ,}$

qui montre que l’effet Doppler est parfaitement symétrique et ne dépend que de la vitesse relative entre l’émetteur et le récepteur.

Cette symétrie a été exploitée par le physicien Hermann Bondi à des fins pédagogiques, dans sa méthode de calcul par le facteur k (Bondi's k-calculus), graphiquement représentée par le diagramme de Bondi.

L’effet Doppler relativiste combine deux effets, l’effet galiléen et l’effet de ralentissement des horloges. Le premier fait intervenir la vitesse radiale entre source et observateur, le second la valeur de la vitesse totale.

Si l’on considère le cas plus classique d’une onde électromagnétique progressive plane monochromatique se déplaçant dans R le long des x avec un champ électrique selon l’axe des y

${\displaystyle {\vec {E}}=E_{0}\cos(kx-\omega t){\vec {e_{y}}}}$

et un champ magnétique

${\displaystyle {\vec {B}}=B_{0}\cos(kx-\omega t){\vec {e_{z}}}={\frac {E_{0}}{c}}\cos(kx-\omega t){\vec {e_{z}}}}$

et si l’on considère un référentiel R’ mû d’une vitesse v par rapport à R comme on a :

${\displaystyle ct=\gamma ct'+\beta \gamma x'}$

${\displaystyle x=\gamma x'+\beta \gamma ct'}$

alors:

${\displaystyle kx-\omega t=k(\gamma x'+\beta \gamma ct')-\omega \left(\gamma t'+\beta \gamma {\frac {x'}{c}}\right)}$  et   ${\displaystyle {\frac {\omega }{c}}=k}$

d’où

${\displaystyle kx-\omega t=k\gamma (1-\beta )}$ ${\displaystyle x'-\omega \gamma (1-\beta )t'}$

On a un nouveau vecteur d’onde  ${\displaystyle k'=k\gamma (1-\beta )}$ et une nouvelle pulsation  ${\displaystyle \omega '=\omega \gamma (1-\beta )}$

Le tenseur de Maxwell permet de trouver les transformations de E₀ En l’occurrence

${\displaystyle {\frac {E'_{y}}{c}}=\gamma (1-\beta ){\frac {E_{y}}{c}}}$  de même pour B

La nouvelle onde dans R’

${\displaystyle {\vec {E'}}=E'_{0}\cos(k'x-\omega t'){\vec {e_{y}}}}$

${\displaystyle =\gamma (1-\beta )E_{0}\cos \left(k\gamma (1-\beta )x-\omega \gamma (1-\beta )t\right){\vec {e_{y}}}}$

On retrouve la proportionnalité entre l’augmentation de l’énergie et l’augmentation de la fréquence en intégrant la densité d’énergie ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\vec {E}}^{2}\epsilon _{0}+{\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)}$ sur un volume ${\displaystyle V'=\gamma (1+\beta )V}$ c’est-à-dire si U’ est l’énergie de l’onde dans R’ et U dans R alors ${\displaystyle {\frac {U'}{U}}=\gamma (1-\beta )={\frac {\omega '}{\omega }}}$

En relativité restreinte, un photon est entièrement caractérisé par son quadrivecteur énergie-impulsion P. Cette quantité est définie indépendamment de tout système de coordonnées mais il est utile lorsqu’on veut faire des mesures ou des calculs algébriques de préciser la valeur des composantes de ce quadrivecteur. Si, dans un système de coordonnées, la fréquence du photon est ${\displaystyle \nu }$ et le vecteur unitaire le long du trajet du photon est le vecteur à 3 dimensions ${\displaystyle {\vec {n}}}$, le quadrivecteur P est

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {h\nu }{c}},\,{\frac {h\nu }{c}}\,{\vec {n}}\right)=(p_{0},\,p_{1},\,p_{2},\,p_{3})}$

où h est la constante de Planck.

Effet Doppler

Considérons une étoile dont nous recevons les photons sur Terre. Choisissons un repère terrestre Oxyz tel que l’axe Ox soit orienté le long de la vitesse v de l’étoile. La relativité restreinte nous apprend alors que les composantes ${\displaystyle (p'_{0},\,p'_{x},\,p'_{y},\,p'_{z})}$ d’un quadrivecteur P dans le repère en mouvement de l’étoile se transforment dans les composantes ${\displaystyle (p_{0},\,p_{x},\,p_{y},\,p_{z})}$ dans le repère terrestre selon les formules de Lorentz suivantes

${\displaystyle {\begin{cases}p_{0}=\gamma (p'_{0}+\beta p'_{x})\\p_{x}=\gamma (\beta p'_{0}+p'_{x})\\p_{y}=p'_{y}\\p_{z}=p'_{z}\end{cases}}}$

avec toujours

${\displaystyle \beta =v/c\,}$   et   ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

En utilisant les notations des paragraphes précédents, les fréquences du photon sont ${\displaystyle \nu \,=\,f_{rec}}$ dans le repère terrestre et ${\displaystyle \nu '\,=\,f_{em}}$ dans le repère de l’étoile émettrice. Les équations de Lorentz donnent alors (les composantes du quadrivecteur sont proportionnelles à la fréquence et le facteur commun de proportionnalité h/c disparaît)

${\displaystyle f_{rec}=\gamma (1+\beta \cos \theta ')f_{em}\ \,,}$

où ${\displaystyle \theta '}$ est l’angle que fait le photon avec l’axe Ox dans le repère de l’étoile. Si la quantité ${\displaystyle \beta '_{rad}}$ correspond à la composante radiale de la vitesse relative entre émetteur et récepteur dans le repère de l’étoile, c’est-à-dire

${\displaystyle \beta '_{rad}=v\cos \theta '/c\,,}$

on peut écrire la formule Doppler relativiste sous la forme

${\displaystyle f_{rec}={\frac {1+\beta '_{rad}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,f_{em}\,}$

qui redonne les formules présentées ci-dessus quand on prend ${\displaystyle \cos \theta '=-1}$.

L’effet relativiste est en quelque sorte la combinaison de l’effet Doppler classique dû à la vitesse radiale et du phénomène de ralentissement des horloges inhérent à la relativité restreinte.

Trouvons l’angle ${\displaystyle \theta }$ que fait le rayon lumineux avec l’axe Ox dans le repère terrestre. La différence entre les directions du photon dans le repère terrestre et le repère de l’étoile constitue le phénomène d’aberration de la lumière. D’après les équations de Lorentz écrites ci-dessus, on a :

${\displaystyle {\begin{cases}\cos \theta =p_{x}/p_{0}=(\beta +\cos \theta ')/(1+\beta \cos \theta ')\\\sin \theta =p_{y}/p_{0}=\gamma ^{-1}\sin \theta '/(1+\beta \cos \theta ')\end{cases}}}$

Ces formules donnent une description relativiste complète de l’effet Doppler-Fizeau.

Il y a une subtilité à saisir dans le phénomène d’aberration. Si le photon se propage radialement dans un repère, il le fera aussi dans l’autre. Autrement dit, si ${\displaystyle \cos \theta '\,=\,-1}$ alors ${\displaystyle \cos \theta \,=\,-1}$. En revanche, si la vitesse est perpendiculaire à la direction du photon dans un repère, elle ne le sera pas en toute rigueur dans l’autre. En effet si ${\displaystyle \cos \theta '\,=\,0}$ alors ${\displaystyle \cos \theta \,=\,\beta }$. Et si ${\displaystyle \cos \theta \,=\,0}$ alors ${\displaystyle \cos \theta '\,=\,-\beta }$.

L’effet Doppler est particulièrement précieux en astronomie car il renseigne à la fois sur le mouvement des astres et sur les mouvements de matière à l’intérieur de ces astres.

L’effet Doppler permet de déterminer directement la vitesse radiale d’une étoile. En effet en étudiant le spectre d’un astre, on constate que les raies spectrales sont décalées en longueur d’onde par rapport aux mêmes raies observées en laboratoire. Le décalage d’une raie visible se produit soit vers le rouge, ce qui indique que l’étoile s’éloigne, soit vers le bleu, si elle se rapproche.

La mesure de la vitesse des étoiles ou des nuages de gaz interstellaire a permis de préciser les mouvements de matière à l’intérieur de la Voie lactée et d’en déterminer la structure spirale.

L’effet Doppler explique pourquoi les raies observées présentent une largeur en longueur d’onde supérieure à la largeur naturelle. En effet, par suite de l’agitation thermique, une moitié des atomes émettant la lumière se déplace vers l’observateur, avec une diminution correspondante de la longueur d’onde et l’autre moitié s’en éloigne, avec une augmentation de la longueur d’onde. La largeur caractéristique d’une raie λ ₀ est mesurée par une quantité appelée largeur Doppler directement proportionnelle à la vitesse moyenne d’agitation thermique et donnée par la formule

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{D}}=(\lambda _{0}/c){\sqrt {2kT/m}}}$

où k est la constante de Boltzmann et m la masse des atomes considérés. La largeur d’une raie est donc une indication de la température de l’étoile observée. L’agitation thermique n’est pas la seule cause d’élargissement : des mouvements turbulents sont présents dans tous les milieux astrophysiques et contribuent à déformer et élargir les raies.

Un radar est un appareil qui émet des paquets d’ondes et écoute ensuite le retour de cible. Si ces cibles se déplacent, un effet Doppler est engendré ce qui permet d’en tirer la vitesse radiale de leur déplacement. Le radar peut donc être adapté pour utiliser ce principe.

• Radar de contrôle routier : la police et la gendarmerie utilisent des radars pour déterminer la vitesse des automobiles. Pour cela ils utilisent un radar dont la fréquence est parfaitement connue. La mesure de la fréquence de l’écho donne la vitesse du véhicule. La technologie moderne permet aujourd’hui d’avoir des radars automatiques et des jumelles laser.
• Radar météorologique : on utilise non pas la variation de la fréquence par l’effet Doppler dans un radar météorologique, car celle-ci est trop petite, mais plutôt la variation de la phase entre deux impulsions revenant des précipitations. Ceci est un effet de second ordre Doppler.
• Profileur de vents : c’est un radar météorologique pointant verticalement et qui mesure la vitesse de chute et de déplacement horizontal des précipitations.
• Radar de mesure balistique : de nombreuses mesures balistiques sont effectuées grâce au radar Doppler. Il permet de mesurer la vitesse du projectile (calibre de 1 mm, éclat par exemple jusqu’au missile), et surtout la mesure du V0 (vitesse initiale du projectile à la sortie de la bouche du canon), la vitesse à l’impact (mise au point de gilet pare-balle, par exemple), la vitesse de rotation du projectile ainsi que sa trajectographie et son coefficient de traînée. La gamme de mesure de vitesse va de 30 m/s à 3 000 m/s, ce qui couvre la majorité des applications dans le domaine de la balistique. Rappelons que pour effectuer une bonne prise de mesure de vitesse, les coordonnées x, y et z de positionnement du radar Doppler par rapport à la bouche du canon de l’arme sont rentrées au mm près dans le logiciel d’analyse et de traitement des données. Les fréquences d’émission en mode CW (continuous wave) couramment utilisées sont 10,525 GHz et 35,525 GHz. La distance de mesure est fonction du calibre et de la fréquence d’émission du radar Doppler. La fréquence de 35,525 GHz permet d’obtenir une résolution 3,5 fois meilleure qu’à la fréquence de 10,525 GHz, mais la distance de mesure est pratiquement 3 fois moins importante.

Sur le même principe qu’un radar, le lidar utilise un laser pour mesurer le déplacement des particules. Il est utilisé en météorologie comme profileur de vents ou comme anémomètres laser (LDV) pour la mesure de vitesses d’écoulement des fluides.

En 1958, le doppler continu (qui est un cristal émettant et recevant en continu des ultrasons) permit l’étude de la circulation sanguine dans les vaisseaux (Rushmer). Le premier doppler pulsé (émission de l’ultrason en discontinu et fenêtre d’écoute temporelle fixée, permettant d’analyser la vitesse du sang à une profondeur définie) a été introduit par Baker en 1970.

• Le doppler, couplé ou non à un examen échographique, permet d’analyser la vitesse du sang. On peut ainsi quantifier des débits, des fuites ou des rétrécissements.

En effet, l’échodoppler est utilisé en médecine pour mesurer la vitesse des hématies et pour calculer le diamètre d’un vaisseau sanguin (aorte…).

• En cardiologie, on peut analyser la vitesse des parois cardiaques à l’aide du doppler tissulaire, c’est l’imagerie doppler des tissus, ou TDI (tissular dopplar imaging)

Antennes de radiocommunication et le groupe des 4 antennes du radiogoniomètre de repérage d’urgence

Le radiogoniomètre de repérage d’urgence à effet Doppler est constitué d’un groupe de 4 antennes (alimentées électroniquement les unes après les autres pour déterminer la direction de la station en difficulté) sur les fréquences : 156,8 MHz Canal 16 et 121,500 MHz.

En France, cet équipement est obligatoire sur les vedettes d’assistance, de surveillance et de sauvetage[2].

Les grands navires utilisent un loch doppler pour mesurer leur vitesse lors d’un accostage.

Récepteur radio de l'équipement Transit installé à bord des sous-marins nucléaires américains.

L'effet Doppler a été utilisé par Transit, le premier système de positionnement par satellites, mis au point pour la marine de guerre des États-Unis. Celui-ci est développé par le laboratoire Applied Physics Laboratory de l'université Johns-Hopkins en 1958. Il devient opérationnel en 1964. Il sera remplacé en 1996 par le NAVSTAR (GPS). Le système Transit repose sur l'exploitation de l'effet Doppler de signaux radio émis par des satellites de petite taille (une cinquantaine de kilogrammes) circulant sur une orbite polaire et stabilisés par gradient de gravité. La constellation de satellites Transit compte quatre satellites dans sa configuration opérationnelle. Une fois un des satellites en vue, soit en général après une attente de l'ordre de l'heure, le récepteur Transit parvenait à calculer dans un délai d'une quinzaine de minutes la position avec une précision d'environ 200 mètres. Le système est développé initialement pour obtenir une frappe précise des missiles Polaris embarqués à bord des sous-marins nucléaires lanceurs d'engins américains. Dès 1967 son utilisation se généralise à bord des navires civils américains comme étrangers et une centaine de milliers de récepteurs Transit étaient en fonctionnement au début des années 1990[3].

Plusieurs appareils utilisent l’effet Doppler dans les laboratoires expérimentaux de physique[4] et les applications de télédétection ainsi que dans certains détecteurs d’alarme de type bivolumétrique ou double technologie. Mentionnons le vibromètre laser pour la mesure de vibrations en mécanique, le sonar et l’interféromètre. L'effet Doppler est aussi utilisé sur certains débitmètres, pour la mesure de liquide dans une canalisation pleine.

Lors des recherches entreprises pour retrouver les traces du vol MH370 disparu en vol le 8 mars 2014, les enquêteurs britanniques ont utilisé l'effet Doppler. Car l'un des systèmes de l'avion reçoit un signal satellite chaque heure et lui répond. Les variations du délai de réponse à ce signal ont permis de reconstituer la trajectoire de l'avion.

• Calculs relativistes / Le voyage dans le futur des autres, où l’effet Doppler est utilisé pour analyser le paradoxe des jumeaux dans le cadre de la relativité restreinte.
• Une façon plus simple et élégante de résoudre le paradoxe des jumeaux mais avec un effet Doppler transverse.
• L'effet Dicke est utilisé dans le domaine des micro-ondes pour annuler l'effet Doppler.
• Le Doppler Transcrânien pour la détection des micro-emboles est une application de l'effet Doppler, permettant de détecter le passage d'emboles dans une artère cérébrale.

• Illustration par une animation (vidéo de 4:28)
• L’effet Doppler - Fizeau, cours en ligne de l’Observatoire de Paris
• Etude de l'effet Doppler sonore (avec Geogebra) par François Byasson

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