Distance ultramétrique

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble E vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

.

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique[1].

Définition et exemples

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application vérifiant les propriétés suivantes :

Nom Propriété
symétrie
séparation
inégalité ultratriangulaire[2]

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire).

Distance triviale

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

L'inégalité

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur l'ensemble ℚ

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

et

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

La propriété précédente de conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées.

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ[3].

Autres exemples

  • Soient X un ensemble quelconque et E = X l'ensemble des suites à valeurs dans X. On munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet en posant (autrement dit : et si , est le rang du premier terme où les deux suites diffèrent), puis[4],[5]ou encore, pour un réel arbitraire :[6],qui est une distance uniformément équivalente à .Pour X = {0, 1}, on obtient l'espace de Cantor et pour X = ℕ, l'espace de Baire.
  • En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.[réf. souhaitée]

Propriétés

Voici quelques propriétés[7] d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

  • Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :
    .
  • Tout point d'une boule en est un centre :
    .
  • Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :
    Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.
    Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.
  • Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : « tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux[8] », ce qui s'écrit aussi :
    .
  • Pour qu'une suite soit de Cauchy, il suffit que

Application

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique[9].

Voir aussi

Notes et références

  1. Cette notion a été introduite par Marc Krasner, « Nombres semi-réels et espaces ultramétriques », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 219, no 2, , p. 433-435 (lire en ligne), qui signale : « Les seuls espaces ultramétriques considérés jusqu'à présent semblent être les corps et les algèbres valués ».
  2. Modèles dyadiques, Terence Tao, 27 Juillet 2007 : https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
  3. Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques ; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p. 652-653.
  4. Rectification du problème 1.b de Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions], chap. III, § 14, aperçu de l'édition en anglais sur Google Livres.
  5. En particulier, .
  6. En particulier, .
  7. Pour leur démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  8. (en) Emil Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions, AMS, , 349 p. (ISBN 978-0-8218-4075-7, lire en ligne), p. 44.
  9. I. C. Lerman, Les bases de la classification automatique, Gauthier-Villars, 1970.
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