Convergence faible (espace de Hilbert)

Une suite de points ${\displaystyle (x_{n})}$ dans un espace de Hilbert H converge faiblement vers un point x dans H si

${\displaystyle \langle x_{n},y\rangle \to \langle x,y\rangle }$

pour tout y dans H. Ici, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ est considéré comme le produit scalaire de l'espace de Hilbert. La notation

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$

est parfois utilisé pour désigner ce type de convergence.

• Si une suite converge fortement, elle converge également faiblement.
• Puisque chaque ensemble fermé et borné est faiblement relativement compact (sa fermeture dans la topologie faible est compacte), chaque suite bornée ${\displaystyle x_{n}}$ dans un espace de Hilbert H contient une sous-suite faiblement convergente. Notez que les ensembles fermés et bornés ne sont généralement pas faiblement compacts dans les espaces de Hilbert (considérez l'ensemble constitué d'une base orthonormée dans un espace de Hilbert de dimension infini qui est fermé et borné mais pas faiblement compact car il ne contient pas 0). Cependant, les ensembles bornés et faiblement fermés sont faiblement compacts, de sorte que chaque ensemble fermé convexe borné est faiblement compact.
• En conséquence du Théorème de Banach-Steinhaus, chaque suite faiblement convergente est bornée.
• La norme est (séquentiellement) faiblement semi-continue inférieurement : si ${\displaystyle x_{n}}$ converge faiblement vers x, alors

${\displaystyle \Vert x\Vert \leq \liminf _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert ,}$

et cette inégalité est stricte chaque fois que la convergence n'est pas forte. Par exemple, des suites orthonormales infinies convergent faiblement vers zéro, comme illustré ci-dessous.

• Si ${\displaystyle x_{n}}$ converge faiblement vers ${\displaystyle x}$ et si l'hypothèse supplémentaire ${\displaystyle \lVert x_{n}\rVert \to \lVert x\rVert }$ est vérifiée, alors ${\displaystyle x_{n}}$ converge vers ${\displaystyle x}$ fortement:

${\displaystyle \langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0.}$

• Si l'espace de Hilbert est de dimension finie, c'est-à-dire un espace euclidien, alors les concepts de convergence faible et de convergence forte sont les mêmes.

Les 3 premières fonctions de la suite ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$ sur ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ . Quand ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle f_{n}}$ converge faiblement vers ${\displaystyle f=0}$ .

L'espace Hilbert ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$ est l'espace des fonctions de carré intégrable sur l'intervalle ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ muni du produit scalaire défini par

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot g(x)\,dx,}$

(voir espace L ^p ). La suite de fonctions ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ définies par

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$

converge faiblement vers la fonction nulle dans ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$, puisque l'intégrale

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(nx)\cdot g(x)\,dx.}$

tend vers zéro pour toute fonction intégrable au carré ${\displaystyle g}$ sur ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini, grâce au lemme de Riemann-Lebesgue, c'est-à-dire

${\displaystyle \langle f_{n},g\rangle \to \langle 0,g\rangle =0.}$

Bien que ${\displaystyle f_{n}}$ a un nombre croissant de 0 dans ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini, elle n'est bien sûr pas égale à la fonction nulle pour tout ${\displaystyle n}$ . Notez que ${\displaystyle f_{n}}$ ne converge pas vers 0 en norme ${\displaystyle L_{\infty }}$ ou ${\displaystyle L_{2}}$. Cette non-convergence est l'une des raisons pour lesquelles ce type de convergence est considéré comme «faible».

Le théorème de Banach-Saks énonce que chaque suite bornée ${\displaystyle x_{n}}$ contient une sous-séquence ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ et un point x tel que

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}}$

converge fortement vers x lorsque N tend vers l'infini.

La définition de convergence faible peut être étendue aux espaces de Banach. Une suite de points ${\displaystyle (x_{n})}$ dans un espace de Banach B est dit faiblement convergente vers un point x dans B si

${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$

pour toute fonction linéaire bornée ${\displaystyle f}$ définie sur ${\displaystyle B}$ c'est-à-dire pour tout ${\displaystyle f}$ dans l'espace dual ${\displaystyle B'}$ . Si ${\displaystyle B}$ est un espace L_p sur ${\displaystyle \Omega }$, et ${\displaystyle p<\infty }$, alors tout ${\displaystyle f}$ est de la forme

${\displaystyle f(x)=\int _{\Omega }x\,y\,d\mu }$

où ${\displaystyle y\in \,L^{q}(B)}$, ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ et ${\displaystyle \mu }$ est la mesure sur ${\displaystyle \Omega }$ .

Dans le cas où ${\displaystyle B}$ est un espace de Hilbert, grâce au théorème de représentation de Riesz, il existe un ${\displaystyle y}$ dans ${\displaystyle B}$ tel que

${\displaystyle f(\cdot )=\langle \cdot ,y\rangle }$,

ce qui permet de retrouver la définition de la convergence faible sur un espace de Hilbert.

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