Inégalité de Bessel

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Énoncé pour une famille finie

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps des réels ou celui des complexes. Le produit scalaire est noté < , > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|. Une famille de vecteurs est dite orthonormale si ses vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Énoncé pour une famille finie — Soit (e₁, … , e_n) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

\sum _{i=1}^{n}\left|\langle x,e_{i}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}.

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs e₁, … , e_n.

Démonstration

Notons F le sous-espace vectoriel engendré par la famille (e₁, … , e_n), et définissons le vecteur

y=\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.

Ce vecteur y appartient à F et x-y est orthogonal à chaque e_j, donc à F. On a donc

\|x\|^{2}=\|y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}|\langle x,e_{i}\rangle |^{2},

avec égalité si et seulement si x = y.

Si x = y alors x appartient à F. Réciproquement, si x appartient à F alors x – y est à la fois orthogonal à F et élément de F, donc nul, d'où x = y.

Généralisation à une famille quelconque

Le résultat précédent s'étend au cas où la famille (e_i) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable) :

Énoncé dans le cas général — Soit (e_i) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

\sum _{i\in I}\left|\langle x,e_{i}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2},

et l'ensemble des indices i tels que 〈e_i, x〉 soit non nul est au plus dénombrable.

Cas d'égalité et unicité des coefficients de Fourier — En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par la famille, et dans ce cas x s'écrit de manière unique comme somme d'une famille de terme général λ_ie_i. La somme est la suivante :

x=\sum _{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.

Si la famille (e_i) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, l'inégalité de Bessel s'écrit :

\sum _{i\in I}\left|{\frac {\langle x,e_{i}\rangle }{\|e_{i}\|}}\right|^{2}\leq \|x\|^{2}.

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval.

Démonstrations

Inégalité et dénombrabilité :

Soit J une sous-famille finie de I. Le résultat du paragraphe précédent montre que :

\sum _{j\in J}\left|\langle x,e_{j}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}.

Ce résultat est vrai quelle que soit la sous-famille finie J de I. Ce qui montre la majoration de l'énoncé, donc la sommabilité de la famille. Or l'ensemble des termes non nuls d'une famille sommable est au plus dénombrable.

Cas d'égalité :

Notons H l'espace de Hilbert complété de E et F l'adhérence dans H du sous-espace vectoriel engendré par les e_i (l'adhérence dans E de ce même sous-espace est donc F∩E). L'inégalité précédente permet de définir, dans H,

y=\sum _{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.

Le reste de la preuve est identique au cas fini.

Unicité des coefficients :

Si

x=\sum _{i\in I}\lambda _{i}e_{i}

alors pour tout j,

\langle x,e_{j}\rangle =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\lambda _{j}.

Voir aussi

Article connexe

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Liens externes

Inégalité de Bessel sur le site bibmath.net
Analyse de Hilbert par Frédéric Laroche dans Promenades mathématiques, 2005

Bibliographie

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
Serge Lang, Analyse réelle, InterEditions, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4)
Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

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