Catégorie dérivée

Soit A une catégorie abélienne. On note ${\displaystyle C({\mathsf {A}})}$ la catégorie (additive) des complexes de chaînes sur A. On note ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$ la catégorie (additive) dont les objets sont ceux de ${\displaystyle C({\mathsf {A}})}$ et les morphismes sont les classes de morphismes de ${\displaystyle C({\mathsf {A}})}$ équivalents par homotopie. ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$ est en particulier une catégorie triangulée.

Si on note ${\displaystyle X^{\bullet },Y^{\bullet }}$ des objets de ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$ (ce sont des complexes de chaînes), un morphisme ${\displaystyle f:X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ est appelé quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme en cohomologie. On note Q la collection des quasi-isomorphismes, alors la catégorie dérivée ${\displaystyle D({\mathsf {A}})}$ de A est la localisationLocalisation d'une catégorie de ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$ par Q.

En se restreignant aux complexes bornés inférieurement, supérieurement ou bornés, on construit respectivement ${\displaystyle D^{-}({\mathsf {A}})}$, ${\displaystyle D^{+}({\mathsf {A}})}$ et ${\displaystyle D^{b}({\mathsf {A}})}$

Il est également possible de définir la catégorie dérivée d'une catégorie exacte.

La catégorie dérivée est un objet dont les morphismes ne peuvent pas en général être manipulés aisément, au contraire de la catégorie ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$. Il existe un foncteur canonique

${\displaystyle Q:K({\mathsf {A}})\to D({\mathsf {A}})}$.

Si ${\displaystyle F:K({\mathsf {A}})\to K({\mathsf {B}})}$ est un foncteur, on dit que le foncteur dérivé à droite ${\displaystyle RF}$ existe si le foncteur ${\displaystyle G\mapsto \mathrm {Hom} (QF,GQ)}$ est représentable. Alors

${\displaystyle RF:D({\mathsf {A}})\to D({\mathsf {B}})}$

en est un représentant et coïncide avec la définition usuelle. Le foncteur dérivé à gauche ${\displaystyle LF}$ est défini de manière duale.

Le foncteur ${\displaystyle Q}$ est une équivalence de catégories si on le restreint à une sous-catégorie ${\displaystyle K^{\pm }({\mathsf {A}})}$. En supposant que A possède assez d'injectifs on peut utiliser une résolution injective (ou, de manière duale, s'il y a assez d'objets projectifs, considérer une résolution projective), et définir à partir d'elle un foncteur dérivé à droite (respectivement, à gauche) pour tout foncteur exact à gauche (respectivement, à droite). On définit alors les foncteurs ${\displaystyle R^{\pm }}$ et ${\displaystyle L^{\pm }}$

• Catégorie triangulée

•  (en) Bernhard Keller, « Derived categories and their uses », dans Michel Hazewinkel, Handbook of algebra, Elsevier, 1996 (ISBN 0-444-82212-7), p. 671-701
• Jean-Louis Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, vol. 239, Société mathématique de France, coll. « Astérisque » (ISSN 0303-1179)
• Jean-Louis Verdier, SGA 4½ (1977)

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