Catégorie additive

Dans une catégorie, un objet ${\displaystyle I}$ est dit initial si pour tout objet ${\displaystyle X}$ il existe un morphisme unique ${\displaystyle I\rightarrow X}$. De manière duale, un objet ${\displaystyle F}$ est dit final si pour tout objet ${\displaystyle Y}$ il existe un morphisme unique ${\displaystyle Y\rightarrow F}$. Un objet nul, ou « objet 0 », est un objet qui est à la fois initial et final. Un tel objet, quand il existe, est unique à un isomorphisme près. Par exemple, dans la catégorie des groupes abéliens, l'objet 0 est le groupe trivial. En revanche, dans la catégorie des ensembles, l'ensemble vide est un objet initial, chaque singleton est un objet final, mais il n'existe pas d'objet nul[1].

Soit, dans une catégorie, un objet ${\displaystyle Y}$. Un sous-objet de ${\displaystyle Y}$ est un couple ${\displaystyle \left(X,\alpha \right)}$ tel que ${\displaystyle \alpha }$ est un monomorphisme, appelé l'inclusion de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$. Un sous-objet de ${\displaystyle X}$ n'est donc pas à proprement parler un sous-objet de ${\displaystyle Y}$, sauf si ${\displaystyle X=Y}$. Deux sous-objets ${\displaystyle \left(X,\alpha \right)}$ et ${\displaystyle \left(X^{\prime },\alpha ^{\prime }\right)}$ de ${\displaystyle Y}$ sont dits équivalents s'il existe un isomorphisme ${\displaystyle \lambda :X\rightarrow X^{\prime }}$ tel que ${\displaystyle \alpha =\alpha ^{\prime }\lambda }$ ; ceci définit une relation d'équivalence[2]. Dans la catégorie des ensembles et des applications (resp. des groupes et des homomorphismes), la notion de sous-objet conduit à la notion habituelle de sous-ensemble (resp. de sous-groupe).

De manière duale, un objet quotient de ${\displaystyle Y}$ est un couple ${\displaystyle \left(Z,\beta \right)}$ tel que ${\displaystyle \beta }$ est un épimorphisme, dit canonique, de ${\displaystyle Y}$ dans ${\displaystyle Z}$. Deux objets quotients ${\displaystyle \left(Z,\beta \right)}$ et ${\displaystyle \left(Z^{\prime },\beta ^{\prime }\right)}$ sont dits équivalents s'il existe un isomorphisme ${\displaystyle \gamma :Z\rightarrow Z^{\prime }}$ tel que ${\displaystyle \beta =\gamma \beta ^{\prime }}$. Dans la catégorie des ensembles et des applications (resp. des groupes et des homomorphismes), la notion d'objet quotient conduit à la notion habituelle d'ensemble quotient (resp. de groupe quotient par un sous-groupe distingué).

Une catégorie préadditive (également appelée une Ab-catégorie[3]) est une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans laquelle chaque ensemble ${\displaystyle Hom_{\mathcal {C}}\left(X,Y\right)}$ (où ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont des objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) est un groupe abélien et pour laquelle la composition des morphismes est biadditive.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ deux catégories préadditives. Un foncteur ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ est dit additif si son application-flèche ${\displaystyle f\mapsto {\mathfrak {F}}\left(f\right)}$ (où ${\displaystyle f}$ désigne un morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) est ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-linéaire, c'est-à-dire si ses restrictions à chaque ${\displaystyle Hom_{\mathcal {C}}\left(X,Y\right)}$, à valeurs dans ${\displaystyle Hom_{\mathcal {D}}\left({\mathfrak {F}}\left(X\right),{\mathfrak {F}}\left(Y\right)\right)}$ est un morphisme de groupes (abéliens).

Soit ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{1\leq i\leq n}}$ une famille finie d'objets d'une catégorie préadditive ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, soit ${\displaystyle X}$ un objet de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, et soit ${\displaystyle 2n}$ morphismes ${\displaystyle \pi _{i}:X\rightarrow X_{i}}$, ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}$ tels que ${\displaystyle \pi _{i}\phi _{j}=\delta _{ij}Id_{X_{i}}}$. Les conditions suivantes sont équivalentes[4]:

1. ${\displaystyle \sum _{1\leq i\leq n}\phi _{i}\pi _{i}=Id_{X}}$
2. ${\displaystyle X}$ est la somme (également appelée le coproduit) des ${\displaystyle X_{i}}$, ce qu'on notera ${\displaystyle X=\coprod \nolimits _{1\leq i\leq n}X_{i}}$ avec pour injections les ${\displaystyle \phi _{i}}$
3. ${\displaystyle X}$ est le produit des ${\displaystyle X_{i}}$, ce qu'on notera ${\displaystyle X=\prod \nolimits _{1\leq i\leq n}X_{i}}$

Quand les conditions équivalentes ci-dessus sont satisfaites, ${\displaystyle X}$ avec les ${\displaystyle 2n}$ morphismes ${\displaystyle \pi _{i}:X\rightarrow X_{i}}$, ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}$ est appelé un biproduit des ${\displaystyle (X_{i})_{1\leq i\leq n}}$, ce qu'on notera ${\displaystyle X=\oplus _{1\leq i\leq n}X_{i}}$. Ce biproduit, quand il existe, est unique à un isomorphisme près.

Soit, dans une catégorie préadditive, un morphisme ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow Y}$. Un noyau de ${\displaystyle \alpha }$ est un morphisme ${\displaystyle \kappa :K\rightarrow X}$ tel que ${\displaystyle \alpha \kappa =0}$ et tel que pour tout morphisme ${\displaystyle \lambda :L\rightarrow X}$ tel que ${\displaystyle \alpha \lambda =0}$ il existe un morphisme unique ${\displaystyle \phi :L\rightarrow K}$ tel que ${\displaystyle \lambda =\kappa \phi }$. Le couple ${\displaystyle \left(K,\kappa \right)}$ est un sous-objet de ${\displaystyle X}$, noté ${\displaystyle \ker \alpha }$. ${\displaystyle \ker \alpha }$ désigne aussi le morphisme ${\displaystyle \kappa }$ ou, par abus de langage, l'objet ${\displaystyle K}$. Quand ce noyau existe, il est unique à une équivalence près. C'est le plus grand sous-objet de ${\displaystyle X}$ annihilé par ${\displaystyle \alpha }$

De manière duale, un conoyau de ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow Y}$ est un morphisme ${\displaystyle \gamma :Y\rightarrow C}$ tel que ${\displaystyle \gamma \alpha =0}$ et pour tout morphisme ${\displaystyle \beta }$ tel que ${\displaystyle \beta \alpha =0}$ il existe un morphisme unique ${\displaystyle \psi }$ tel que ${\displaystyle \beta =\psi \gamma }$. Le couple ${\displaystyle \left(C,\gamma \right)}$ est un objet quotient de ${\displaystyle Y}$ noté ${\displaystyle coker\alpha }$; ${\displaystyle coker\alpha }$ désigna aussi le morphisme ${\displaystyle \gamma }$ ou, par abus de langage, l'objet ${\displaystyle C}$. Quand ce conoyau existe, il est unique à une équivalence près. C'est le plus grand objet quotient de ${\displaystyle Y}$ qui annihile ${\displaystyle \alpha }$.

Une catégorie préadditive est dit additive s'il existe un objet 0 et si chaque couple d'objets admet un biproduit.

Une catégorie additive est dite préabélienne si tout morphisme ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow Y}$ de cette catégorie admet un noyau et un conoyau.

Dans une catégorie préabélienne, on définit comme l'image (resp. la coïmage) d'un morphisme ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow Y}$ comme étant le sous-objet de ${\displaystyle Y}$ (resp. l'objet quotient de ${\displaystyle X}$) défini comme suit :

${\displaystyle im\ \alpha =ker\ coker\ \alpha }$ ${\displaystyle \quad }$ (resp. ${\displaystyle coim\ \alpha =coker\ ker\ \alpha }$).

Considérons le diagramme ci-dessous :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}ker\ \alpha &\longrightarrow &X&{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}&Y&\longrightarrow &coker\ \alpha \\&&\downarrow &&\uparrow &&\\&&coim\ \alpha &{\overset {\alpha ^{\prime }}{\longrightarrow }}&im\ \alpha &&\end{array}}}$

Puisque ${\displaystyle coim\ \alpha }$ est le plus grand quotient de ${\displaystyle X}$ qui annihile ${\displaystyle ker\ \alpha }$, il existe un morphisme ${\displaystyle \phi :coim\ \alpha \rightarrow Y}$ tel que ${\displaystyle \alpha =\phi \left(coim\ \alpha \right)}$. Donc, ${\displaystyle \left(coker\ \alpha \right)\phi \left(coim\ \alpha \right)=0}$. Puisque ${\displaystyle coim\ \alpha }$ est un épimorphisme, ${\displaystyle \left(coker\ \alpha \right)\phi =0}$. Et puisque ${\displaystyle im\ \alpha }$ est le plus grand sous-objet de ${\displaystyle Y}$ annihilé par ${\displaystyle coker\ \alpha }$, il existe un morphisme ${\displaystyle \alpha ^{\prime }}$ unique rendant le diagramme commutatif.

La catégorie EVT des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K et des applications linéaires continues est préabélienne. Le noyau, le conoyau, l'image et la coïmage d'un morphisme de EVT sont les objets algébriques habituels. Soit ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow Y}$ un morphisme, i.e. une application linéaire continue. L'application linéaire induite ${\displaystyle {\bar {\alpha }}:coim\ \alpha =X/ker\ \alpha \rightarrow im\ \alpha }$ est bijective, et est également continue par définition de la topologie induite. C'est donc un morphisme, et ${\displaystyle \alpha ^{\prime }={\bar {\alpha }}}$.

La catégorie Ban des espaces de Banach sur le corps des réels et des complexes et des applications linéaires continues est préabélienne. Soit ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow Y}$ un morphisme; alors ${\displaystyle ker\ \alpha =\alpha ^{-1}\left(\left\{0\right\}\right)}$ et ${\displaystyle coim\ \alpha =X/ker\ \alpha }$ sont les objets algébriques habituels, contrairement à ${\displaystyle coker\ \alpha =Y/{\overline {\alpha \left(X\right)}}}$ et ${\displaystyle im\ \alpha ={\overline {\alpha \left(X\right)}}}$. Soit ${\displaystyle {\bar {\alpha }}:coim\ \alpha \rightarrow \alpha \left(X\right)}$ l'application linéaire induite. Elle bijective, et est également continue d'après la définition de la topologie induite. Soit ${\displaystyle \alpha ^{\prime }:coim\ \alpha \rightarrow im\ \alpha }$ l'application linéaire continue qui coïncide avec ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ sur ${\displaystyle coim\ \alpha }$. Elle est injective, et est surjective si, et seulement si ${\displaystyle \alpha \left(X\right)}$ est fermé dans ${\displaystyle Y}$.

Ceci reste valide dans la catégorie Fré des espaces de Fréchet et des applications linéaires continues, ou plus généralement dans une sous-catégorie pleine de la catégorie des espaces vectoriels topologiques séparés sur un corps topologique, et des applications linéaires continues (les espaces de Fréchet et de Banach ont toutefois pour spécificité que, d'après le théorème de Banach sur l'application inverse, un morphisme bijectif est un isomorphisme : cette propriété n'est pas partagée par les espaces vectoriels topologiques quelconques).

En revanche, la catégorie des espaces localement convexes séparés complets n'est pas préabélienne, car le quotient d'un espace complet par un sous-espace fermé n'est pas complet en général.

La notion de catégorie préabélienne a été utilisée en théorie des systèmes[5].

Dans une catégorie préabélienne, un morphisme ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow Y}$ est dit strict si ${\displaystyle \alpha ^{\prime }}$ est un isomorphisme. Par exemple :

• Dans la catégorie EVT, un morphisme ${\displaystyle \alpha :X\rightarrow Y}$ est strict si et seulement si l'application ${\displaystyle \alpha }$ est ouverte de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle \alpha \left(X\right)}$.
• Il en va de même dans les catégories Ban et Fré, et en conséquence du théorème de Banach-Schauder cela revient à dire que ${\displaystyle \alpha \left(X\right)}$ est fermé dans ${\displaystyle Y}$.

Dans une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, un carré cartésien est un carré commutatif.

tel que pour tout objet ${\displaystyle O}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et tous morphismes ${\displaystyle \gamma _{1}:C\rightarrow C_{1}}$, ${\displaystyle \gamma _{2}:C\rightarrow C_{2}^{\prime }}$, il existe un unique morphisme ${\displaystyle \gamma :C\rightarrow C_{1}^{\prime }}$ rendant commutatif le diagramme suivant :

i.e. ${\displaystyle c_{1}\circ \gamma =\gamma _{1}}$, ${\displaystyle f^{\prime }\circ \gamma =\gamma _{2}^{\prime }}$. Un carré cocartésien s'obtient par dualité, c'est-à-dire en inversant le sens des flèches.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une catégorie préabélienne. Elle est dite quasi abélienne si les conditions suivantes sont satisfaites : (i) Dans un carré cartésien tel que ci-dessus, si f est un épimorphisme strict, alors ${\displaystyle f^{\prime }}$ est un épimorphisme strict. (ii) La condition duale est satisfaite (en inversant le sens des flèches, et en remplaçant "épimorphisme" par "monomorphisme").

Dans une catégorie quasi abélienne, la composée de deux épimorphismes stricts est un épimorphisme strict. On peut définir dans une catégorie quasi abélienne la notion de "suite strictement exacte" de la manière suivante: une suite

${\displaystyle A{\overset {u}{\longrightarrow }}B{\overset {v}{\longrightarrow }}C}$

est strictement exacte si ${\displaystyle v\circ u=0}$ et le morphisme canonique ${\displaystyle coim(u)\rightarrow ker(v)}$ est un isomorphisme.

Fabienne Prosmans et Jean-Pierre Schneiders ont montré que les catégories quasi abéliennes admettent des catégories dérivées, ce qui en fait un cadre approprié à l'algèbre homologique[6]^,[7] (depuis la contribution fondamentale d'Alexandre Grothendieck, on savait que c'était le cas des catégories abéliennes[8]).

La catégorie ELC des espaces localement convexes, la catégorie ELCS des espaces localement convexes séparés, les catégories Ban et Fré, sont quasi abéliennes. De plus, Ban a suffisamment d'objets injectifs et d'objets projectifs, tandis que Fré a suffisamment d'objets injectifs.

• Henri Bourlès et Ulrich Oberst, « Duality for differential-difference systems over Lie groups », SIAM J. Control Optim., vol. 48, n^o 4,‎ 2009, p. 2051-2084 (lire en ligne)
• (en) Paul Moritz Cohn, Further Algebra and Applications, Londres, Springer, 2003, 451 p. (ISBN 1-85233-667-6, lire en ligne)
• Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique I », TMJ, vol. 9,‎ 1957, p. 119-184 (lire en ligne)
• Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique II », TMJ, vol. 9,‎ 1957, p. 185-221 (lire en ligne)
• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
• (en) Nicolae Popescu, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, 1973, 467 p. (ISBN 0-12-561550-7)
• (en) Fabienne Prosmans, « Derived Categories for Functional Analysis », Publ. Res. Int. Math. Sci., vol. 36,‎ 2000, p. 19-83 (lire en ligne)
• (en) Jean-Pierre Schneiders, « Quasi-abelian categories and sheaves », Mém. Soc. Math. France, 2^e série, vol. 76,‎ 1999, p. 1-140 (lire en ligne)

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