Suite spectrale

Pour chaque nouvelle feuille, on effectue un calcul sur la précédente.

Une manière de visualiser ce qui se produit dans une suite spectrale est l'utilisation de la métaphore du bloc-note^{[réf. nécessaire]}. E₁ étant la première feuille de données, la feuille E₂ en dérive par un processus défini ; et ainsi de suite pour les feuilles E₃, E₄... Le résultat final du calcul serait la dernière feuille du bloc-notes.

En pratique E_i contient certaines données de gradation, souvent même deux. Chaque feuille est ensuite transformée en tableau, agencé en lignes et colonne, avec un groupe abélien dans chaque cellule. Chaque feuille possède aussi des « différentielles », qui agissent depuis chaque cellule de la feuille sur une autre cellule. Le processus défini est alors un moyen de calculer l'état de chaque cellule sur la feuille suivante à partir de la feuille courante, en suivant les différentielles.

Pour être rigoureux, l'élément E_n devrait indiquer deux indices :

E_n^p,q

avec les différentielles d_n^p,q agissant depuis E_n^p,q sur un E_n^p+a,q+b, avec a et b ne dépendant que de n.

Des suites spectrales apparaissent souvent lors des calculs de filtration d'un module E₀. Une filtration

${\displaystyle A_{-2}=A_{-1}=A_{0}\supset A_{1}\supset A_{2}\supset \ldots }$

d'un module induit une suite exacte courte

${\displaystyle 0\to A\hookrightarrow A\to B\to 0,}$

avec B, le quotient j de A par son image sous l'inclusion i, et dont la différentielle est induite par celle de A. Soit A₁ = H(A) et B₁ = H(B) ; une suite exacte longue,

${\displaystyle \ldots \to A_{1}\to A_{1}\to B_{1}\to A_{1}\to \ldots }$

est donnée par le lemme du serpent. Si nous appelons les cartes affichées i₁, j₁, et k₁, et si A₂ = i₁A₁ et B₂ = Ker j₁k₁ / Im j₁k₁, on peut démontrer que

${\displaystyle \ldots \to A_{2}\to A_{2}\to B_{2}\to A_{2}\to \ldots }$

est une autre suite exacte.

Quelques suites spectrales notoires :

• Suite spectrale d'Adams (en) en théorie de l'homotopie stable (en), et d'Adams-Novikov
• Suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch (en)
• Suite spectrale de Bockstein (en)
• Suite spectrale chromatique (en)
• Suite spectrale de Grothendieck (en) pour les foncteurs dérivés d'un composé de deux foncteurs
• Suite spectrale d'Eilenberg-Moore (en) pour l'homologie singulière du pullback d'une fibration
• Suite spectrale de Hodge-de Rham (en) en cohomologie des variétés complexes
• Suite spectrale de Leray (en) en cohomologie des faisceaux
• Suite spectrale de Lyndon-Hochschild-Serre (en) en cohomologie des groupes
• Suite spectrale de Serre (en) d'une fibration

• (en) Allen Hatcher, Spectral Sequences in Algebraic Topology, 2004 (lire en ligne)
• (en) John McCleary, A User's Guide to Spectral Sequences, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 2000, 578 p. (ISBN 978-0-521-56759-6, lire en ligne)
• (en) Robert Mosher et Martin Tangora, Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory
• Séminaire Henri Cartan de l'École Normale Supérieure, 1950/1951. Cohomologie des groupes, suite spectrale, faisceaux

• Cohomologie
• Transgression

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