Équivalence d'homotopie

En mathématiques, une équivalence d'homotopie est une application admettant une réciproque à homotopie près. Autrement dit, deux applications sont des équivalences d'homotopie réciproques si leurs composées sont homotopes à l'identité sur leurs espaces de départ respectifs. Autrement dit, une équivalence d'homotopie est un isomorphisme dans la catégorie hTop (en). En particulier, toute équivalence d'homotopie est un quasi-isomorphisme, c'est-à-dire qu'elle induit un isomorphisme en homologie.

Définition

Soient X et Y deux espaces topologiques, on dit qu'ils sont homotopiquement équivalents ou du même type d'homotopie, s'il existe des applications continues f : X → Y et g : Y → X telles que g ∘ f est homotope à l'application identité id_X et f ∘ g est homotope à id_Y.

Les applications f et g sont appelées des équivalences d'homotopie.

Cette définition s'applique aux applications continues entre espaces topologiques, mais aussi aux morphismes de complexes différentiels.

L'équivalence d'homotopie est une relation d'équivalence moins fine que l'homéomorphisme (ou l'isomorphisme de complexes).

Propriétés

Deux espaces sont homotopiquement équivalents si et seulement s'ils sont tous deux rétracts par déformation d'un même espace.
Théorème de Whitehead[1] : toute équivalence faible d'homotopie entre deux CW-complexes connexes est une équivalence d'homotopie.

Exemples

Un espace contractile est un espace homotopiquement équivalent à un point.
Une partie d'un espace topologique est appelée un rétract faible par déformation[2] si son inclusion est une équivalence d'homotopie. C'est une condition légèrement plus faible que celle d'être un rétract par déformation[2]^,[3].
Un cercle est homotopiquement équivalent au plan privé d'un point et au ruban de Möbius.
La surface du tore privée d'un point est homotopiquement équivalente à un bouquet de deux cercles.

Notes et références

(en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 346, Theorem 4.5.
(en) Edwin H. Spanier, Algebraic Topology, p. 30.
Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, Armand Colin, 1972, p. 54.

Articles connexes

Catégories à modèles fermés
Conjecture de Poincaré
Équivalence d'homotopie simple (en)
Fibration et Cofibration
h-cobordisme (en)

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[1] (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 346, Theorem 4.5.

[Spanier-2] (en) Edwin H. Spanier, Algebraic Topology, p. 30.

[3] Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, Armand Colin, 1972, p. 54.