Catégorie modèle

1. Axiome de bi-complétude : la catégorie ${\displaystyle A}$ est bi-complète ; elle possède toutes ses limites finies et colimites finies.
2. Axiome de rétraction : ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle C}$ sont stables par rétractions.
3. Axiome du deux sur trois : Si ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ sont des morphismes tel que ${\displaystyle f\cdot g}$ existent, alors si parmi ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle f\cdot g}$ deux sont dans ${\displaystyle W}$, alors le troisième l'est aussi.
4. Axiome du relèvement : soit ${\displaystyle p}$ dans ${\displaystyle F}$, alors pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle C\bigcap W}$, ${\displaystyle i}$ a la propriété de relèvement par rapport à ${\displaystyle p}$. De même si ${\displaystyle p}$ est dans ${\displaystyle F\bigcap W}$ et ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle C}$.
5. Axiome de factorisation:

• Soit ${\displaystyle f}$ un morphisme de ${\displaystyle A}$, alors il existe ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle C\bigcap W}$, ${\displaystyle p}$ dans ${\displaystyle F}$ tel que ${\displaystyle f=p\cdot i}$;
• Soit ${\displaystyle f}$ un morphisme de ${\displaystyle A}$, alors il existe ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle p}$ dans ${\displaystyle F\bigcap W}$ tel que${\displaystyle f=p\cdot i}$.

On appelle ${\displaystyle W}$ la classe des équivalences faibles (weak equivalence), ${\displaystyle F}$ la classe des fibrations et ${\displaystyle C}$ la classe des cofibrations.

Une fibration qui est une faible équivalence est appelé une fibration acyclique, une cofibration qui est aussi une faible équivalence est appelé cofibration acyclique.