Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur des nombres, les polynômes minimaux sur ou (ou sur lorsque rien n'est précisé) de quelques nombres de la forme
- pour et k premier avec n.
Remarquons que contrairement à , le nombre algébrique n'est pas toujours un entier algébrique : Niven donne l'exemple de et Calcut ajoute l'exemple , dont il explicite le polynôme minimal. D'autres exemples sont pour .
Degré de tan(rπ)
Par des calculs de degrés d'extensions, on sait que le degré (sur ) de , si n est > 2 et ≠ 4 et k premier avec n, vaut :
- si n n'est pas divisible par 4 ;
- si n est divisible par 4,
où est l'indicatrice d'Euler.
n = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0+ | 2 | 1 | 4 | 2 | 6 | 2 | 6 | 4 | 10 | |||
12+ | 2 | 12 | 6 | 8 | 4 | 16 | 6 | 18 | 4 | 12 | 10 | 22 |
24+ | 4 | 20 | 12 | 18 | 6 | 28 | 8 | 30 | 8 | 20 | 16 | 24 |
36+ | 6 | 36 | 18 | 24 | 8 | 40 | 12 | 42 | 10 | 24 | 22 | 46 |
48+ | 8 | 42 | 20 | 32 | 12 | 52 | 18 | 40 | 12 | 36 | 28 | 58 |
60+ | 8 | 60 | 30 | 36 | 16 | 48 | 20 | 66 | 16 | 44 | 24 | 70 |
72+ | 12 | 72 | 36 | 40 | 18 | 60 | 24 | 78 | 16 | 54 | 40 | 82 |
84+ | 12 | 64 | 42 | 56 | 20 | 88 | 24 | 72 | 22 | 60 | 46 | 72 |
96+ | 16 | 96 | 42 | 60 | 20 | 100 | 32 | 102 | 24 | 48 | 52 | 106 |
108+ | 18 | 108 | 40 | 72 | 24 | 112 | 36 | 88 | 28 | 72 | 58 | 96 |
120+ | 16 | 110 | 60 | 80 | 30 | 100 | 36 | 126 | 32 | 84 | 48 | 130 |
132+ | 20 | 108 | 66 | 72 | 32 | 136 | 44 | 138 | 24 | 92 | 70 | 120 |
Polynôme minimal de tan(kπ/n)
Cas n non divisible par 4
Dans ce premier cas, il est très facile de déduire le polynôme minimal de de celui de , en utilisant l'identité . On construit ainsi un polynôme unitaire de degré ayant pour racines les nombres , pour k premier avec n et (ou ). Vu le degré de ces nombres, est leur polynôme minimal.
et le polynôme minimal des 10 nombres () se déduit de celui de qui, d'après les deux chapitres précédents, est
- .
Les 10 nombres en question ont pour polynôme minimal commun :
- .
- .
Cas n divisible par 4
Dans ce second cas , le degré des est moitié moindre donc le polynôme calculé précédemment n'est plus irréductible :
- ,
les deux facteurs irréductibles étant liés par
et déterminés de la façon suivante.
Les angles considérés vérifient toujours , mais aussi (k étant premier avec 4m donc impair) . Parmi eux, la moitié — ceux pour lesquels — vérifient (les autres — leur opposés — vérifiant donc ). Or s'exprime en fonction de à l'aide d'un polynôme de Tchebychev de seconde espèce :
Leur polynôme minimal est donc le PGCD de polynômes :
- .
- .
- .
- Le polynôme minimal de est donc si ou , et si ou . On peut vérifier que .
- .
- .
- Le polynôme minimal de est donc si ou , et si ou . On peut vérifier que .
Liste exhaustive jusqu'au degré 12
Nous éviterons les redondances dans la liste ci-dessous, en remarquant que si
- est le polynôme minimal sur K de ,
alors
- celui de son opposé, , est
- ;
- celui de son inverse, , est
- .
Le cas avec impair se ramène ainsi au cas .
Nombres rationnels
Le polynôme minimal de est .
Irrationnels quadratiques
.
est le polynôme minimal des nombres : et son opposé. |
est le polynôme minimal des nombres : et l'opposé de son inverse. |
est le polynôme minimal des nombres : et son inverse. |
Nombres de degré 4
.
est le polynôme minimal des nombres : et leurs opposés. | |
est le polynôme minimal sur des nombres : et l'opposé de son inverse. |
est le polynôme minimal sur des nombres : et l'opposé de son inverse. |
est le polynôme minimal des nombres : et leurs inverses. |
est le polynôme minimal des nombres : . |
Nombres de degré 6
.
est le polynôme minimal sur des nombres : . |
est le polynôme minimal sur des nombres : . |
est le polynôme minimal sur des nombres : . |
est le polynôme minimal sur des nombres : . |
Nombres de degré 8
est le polynôme minimal sur des nombres : . |
n=32,40,48,60 |
Nombres de degré 10
est le polynôme minimal sur des nombres : . |
n=44 |
Nombres de degré 12
.
est (à un facteur près) le polynôme minimal sur des nombres : . |
est (à un facteur près) le polynôme minimal sur des nombres : . |
n=13,52,56,72,84 |
Exemples de nombres de degré 20
est le polynôme minimal sur des nombres : . |
est le polynôme minimal sur des nombres : . |
Lien externe
Jack S. Calcut, « Rationality and the Tangent Function », sur Oberlin College