Polynôme/Arithmétique des polynômes

$K$ désigne toujours un corps commutatif et $K[X]$ l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps.

Division euclidienne et divisibilité dans K[X]

Théorème et définition : Division euclidienne dans K[X]

Il existe une unique division euclidienne dans $K[X]$ , c'est-à-dire :

{\displaystyle \forall A,B\in K[X]\times (K[X]\setminus \{0\})\quad \exists

.

$Q$ est appelée quotient de $A$ par $B$ et $R$ reste.

Démonstration

La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. Avec les notations du théorème :

Le couple (Q, R), s'il existe, est unique :

La démonstration se fonde sur une propriété du degré d'un polynôme ; le degré du produit de deux polynômes M et N est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :

{\text{deg }}(MN)={\text{deg }}M+{\text{deg }}N

On suppose l'existence de deux couples (Q₁, R₁), (Q₂, R₂) résultats de la division euclidienne de A par B, on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités :

A=BQ_{1}+R_{1},\quad A=BQ_{2}+R_{2}\quad {\text{donc}}\quad (1)\quad B(Q_{1}-Q_{2})=R_{2}-R_{1}.

Le polynôme B(Q₁ – Q₂) est donc de degré strictement inférieur à celui de B, ce qui n'est possible que si Q₁ – Q₂ est nul. L'égalité (1) montre alors que R₁ – R₂ est aussi nul.

Il existe un couple (Q, R) satisfaisant l'identité de la division euclidienne :

Soient m et n les degrés de A et B. Si m < n (y compris si m = $-\infty$ , c'est-à-dire si A = 0), il suffit de prendre Q égal au polynôme constant 0 et R égal à A pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Soit p ≥ n ; supposons la propriété démontrée pour toute valeur de m strictement inférieure à p et montrons-la pour m = p. Pour cela, notons

A=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{0}\quad {\text{et}}\quad B=b_{n}X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{0}\quad {\text{avec}}\quad b_{n}\neq 0

et posons

(2)\quad A_{1}=A-{\frac {a_{m}}{b_{n}}}X^{m-n}B.

Ce polynôme est de degré inférieur à m, strictement (car les monômes de degré m des deux membres de cette différence sont égaux donc s'éliminent). On peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : il existe deux polynômes Q₁ et R₁ tels que :

(3)\quad A_{1}=Q_{1}B+R_{1}\quad {\text{avec}}\quad \deg R_{1}<\deg B.

En combinant (2) et (3), on obtient :

A=\left({\frac {a_{m}}{b_{n}}}X^{m-n}+Q_{1}\right)B+R_{1}\quad {\text{avec}}\quad \deg R_{1}<\deg B,

ce qui établit la proposition.

Exemple : Division de $X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+8$ par $X^{2}+3X+1$

Étape 1 : division de $X^{4}-X^{3}+X^{2}$ par $X^{2}+3X+1$ (quotient $X^{2}$ , reste $-4X^{3}$ )

x⁴	- x ³	+ x²	- x	+ 8	x² + 3x + 1
x⁴	+ 3x³	+ x²			x²
	- 4x³

Étape 2 : division de -4x³ - x par x² + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x² + 3x)

x⁴	- x ³	+ x²	- x	+ 8	x² + 3x + 1
x⁴	-3x³	+ x²			x² - 4x
	- 4x³		- x
	-4x³	- 12x²	-4x
		+ 12x²	+ 3x

Étape 3 : division de 12x² - 3x + 8 par x² + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)

x⁴	- x ³	+ x²	- x	+ 8	x² + 3x + 1
x⁴	+ 3x³	+ x²			x² - 4x + 12
	- 4x³		- x
	-4x³	- 12x²	-4x
		+ 12x²	+ 3x	+ 8
		12x²	+ 36x	+12
			- 33x	- 4

Conclusion : x⁴ - x ³ + x² - x + 8 = (x² + 3x + 1)(x² - 4x + 12) - 33x - 4

Définition : Divisiblité

Soient $A$ et $B$ deux polynômes.
On dit que $B$ divise $A$ (ce qu'on note $B|A$ ) s'il existe $P\in K[X]$ tel que $A=PB$ :

B\mid A\iff \exists P\in K[X]\quad A=PB

.

Propriétés

Soient $A,B,C\in K[X]$ et $\lambda \in K$ .

$A|\lambda \iff A\mathrm {\;constant\;}$
$A|B\mathrm {\;et\;} B|C\Rightarrow A|C$ (Transitivité)
$A|B\mathrm {\;et\;} A|C\Rightarrow A|BU+CV\;\forall U,V\in K[X]$
$\left(A|B\mathrm {\;et\;} B|A\right)\iff \left(\exists \lambda \in K|A=\lambda B\right)$ .

Les démonstrations se font comme dans $\mathbb {Z}$ (voir le cours d'arithmétique).

PGCD et PPCM

Définitions

Définitions : PGCD et PPCM de deux polynômes

Soient $A,B\in K[X]$ .

Un PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de $A$ et $B$ est un polynôme $D$ qui divise $A$ et $B$ et tel que tout diviseur commun à $A$ et $B$ divise $D$ (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
Un PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de $A$ et $B$ est un polynôme $M$ qui est divisible par $A$ et $B$ et tel que tout multiple commun à $A$ et $B$ soit divisible par $M$ (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .

Remarques :

$P|Q\iff \operatorname {pgcd} (P;Q)=P\iff \operatorname {ppcm} (P;Q)=Q$ .
On démontre facilement que deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
Comme dans $\mathbb {Z}$ , deux polynômes sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

Algorithme d'Euclide

Il est le même que dans $\mathbb {Z}$ . On établit le lemme d'Euclide :

Lemme d'Euclide

Soient $A,B\in K[X]$ . Alors $\forall P,Q\in K[X]$ , si $A=BP+Q$ on a :

\operatorname {pgcd} (A;B)=\operatorname {pgcd} (B;Q)

.

Démonstration

Il faut montrer que l’ensemble ${\mathcal {D}}(A;B)$ des diviseurs communs à $A$ et $B$ est égal à ${\mathcal {D}}(B;Q)$ . On raisonne donc par implications successives.

$(\subset )$ : Soit $C\in {\mathcal {D}}(A;B)$ .

Alors $C|A\mathrm {\;et\;} C|B\Rightarrow C|Q=A-BP$ d'où l’on tire que $C\in {\mathcal {D}}(B;Q)$ .

$(\supset )$ : Soit $C\in {\mathcal {D}}(B;Q)$ .

Alors $C|B\mathrm {\;et\;} C|Q\Rightarrow C|A=BP+Q$ d'où l’on tire que $C\in {\mathcal {D}}(A;B)$ .

On a bien l'égalité ${\mathcal {D}}(A;B)={\mathcal {D}}(B;Q)$ : si ces ensembles sont égaux, alors leurs plus grands éléments aussi, d'où le résultat.

On en déduit l'algorithme d'Euclide :

Soient $A,B\in K[X]$ tels que $\deg A>\deg B$ .

Opération	Reste $R$	Commentaires
on divise $A$ par $B$	$R_{0}$	$\deg 0\leq \deg R_{0}<\deg B{\mbox{ et }}pgcd(A,B)=pgcd(B,R_{0})$
si $R_{0}\neq 0$ , on divise $B$ par $R_{0}$	$R_{1}$	$\deg 0\leq \deg R_{1}<\deg R_{0}{\mbox{ et }}pgcd(B,R_{0})=pgcd(R_{0},R_{1})$
…	…	…
si $R_{n}\neq 0$ , on divise $R_{n-1}$ par $R_{n}$	$0$	$pgcd(R_{n-1},R_{n})=R_{n}$

Théorèmes d'arithmétique

Ces théorèmes se démontrent comme dans $\mathbb {Z}$ .

Théorème de Bézout

$\forall A,B\in K[X]\quad \exists U,V\in K[X]\quad AU+BV=\operatorname {pgcd} (A,B)$ .
$\operatorname {pgcd} (A;B)=1\iff \left(\exists U,V\in K[X]\quad AU+BV=1\right)$ .

Théorème de Gauss

Soient $A,B,C\in K[X]$ .

Si $A\mid BC$ et $\operatorname {pgcd} (A,B)=1$ , alors $A\mid C$ .

Polynômes premiers et irréductibles

Définition : Polynômes premiers et irréductibles

Soit $P\in K[X]$ non constant.

Le polynôme $P$ est dit irréductible si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme $\lambda P(\mathrm {\;avec\;} \lambda \in K)$ .
Le polynôme $P$ est dit premier si :
$\forall A,B\in K[X]\quad P\mid AB\Rightarrow \left(P\mid A{\text{ ou }}P\mid B\right)$ .

Théorème

Un polynôme est premier si, et seulement si, il est irréductible.

On se permet ainsi de confondre les deux notions. La démonstration se fait comme dans $\mathbb {Z}$ .

On démontre aussi :

Théorème

$K[X]$ est un anneau factoriel ; cela signifie que, comme dans $\mathbb {Z}$ , tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.

Idéaux de K[X]

La définition d'un idéal est donnée dans le cours sur les anneaux.

Théorème

$K[X]$ est un anneau principal, ce qui signifie que tout idéal y est principal : plus précisément, si $I$ est un idéal de $K[X]$ , alors :

\exists P\in K[X]\quad I=(P)=\{PQ\mid Q\in K[X]\}

.

Démonstration

L'idéal $\{0\}$ est engendré par le polynôme nul.

Soit maintenant $I$ un idéal non nul de $K[X]$ . Soit, parmi les éléments non nuls de $I$ , un polynôme $B$ de degré minimum.

Comme $B\in I$ , par définition d'un idéal, $(B)\subset I$ .

Réciproquement, soit $A\in I$ . Par division euclidienne de $A$ par $B$ , il existe $Q,R\in K[X]$ tels que $A=BQ+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$ .

Le polynôme $R=A-BQ$ appartient à $I$ , comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par choix de $B$ , la condition $\deg(R)<\deg(B)$ implique $R=0$ donc $A=BQ\in (B)$ .

Ceci prouve que $I\subset (B)$ donc finalement, $I=(B)$ .

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