Recherche:Méthode de Sotta/Changement de variable homographique en degré 3

Dans ce chapitre, nous montrerons comment exprimer les racines d'un polynôme $P$ de degré 3 comme fonction homographique des racines d'un polynôme donné $P_{0}$ de degré 3. Grâce à la méthode de Sotta, nous ramènerons ce problème à la résolution de deux équations particulières de degré 3, dont les coefficients dépendent de $P$ et de $P_{0}$ . Nous illustrerons cette méthode en prenant comme polynôme $P_{0}$ le polynôme minimal de $\cos {\frac {\pi }{7}}$ et celui de $\cos {\frac {\pi }{9}}$ .

Changement de variable homographique

Rappel d'un théorème

Si $z$ est algébrique de degré $n>1$ alors, pour tous rationnels $p,q,r,s$ tels que $ps-qr\neq 0$ ,

x:={\frac {pz-r}{qz-s}}

est bien défini, et algébrique de degré

n

.

Voir Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Changement de variable homographique, où l'on explicite le polynôme minimal $P$ de $x$ en fonction du polynôme minimal $P_{0}$ de $z$ , ce qui permet de calculer le lien entre leurs discriminants. En particulier, si $n=3$ :

si $q=0$ : $\Delta _{P}=\left({\frac {p}{s}}\right)^{6}\Delta _{P_{0}}$ ;
sinon : $\Delta _{P}=\left({\frac {ps-qr}{q^{2}}}\right)^{6}{\frac {\Delta _{P_{0}}}{{P_{0}}(s/q)^{2}}}$ .

Cas du degré 3

On se donne maintenant deux polynômes de degré 3, $P_{0}$ et $P$ , et l'on cherche à exprimer les racines de $P$ comme images de celles de $P_{0}$ par une transformation homographique $f(z)={\frac {pz-r}{qz-s}}$ . On se placera dans le cas générique où les deux résolvantes de Sotta sont de degré 2 et de racines distinctes. $P_{0}$ et $P$ ont alors chacun trois racines distinctes. Puisqu'une transformation homographique est déterminée de façon unique par le choix des images (distinctes) de trois points distincts donnés, il existe exactement 6 solutions $f$ à notre problème.

Nous noterons $\delta$ le discriminant de $P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ et $R(X)=AX^{2}+BX+C$ sa résolvante de Sotta.

Même chose pour $P_{0}$ , en mettant partout des 0 en indice.

Théorème

Avec les notations ci-dessus, les trois racines de $P$ sont les images par $z\mapsto {\frac {pz-r}{qz-s}}$ (avec $ps-rq\neq 0$ ) des trois racines de $P_{0}$ si et seulement si le quadruplet $(p,q,r,s)$ vérifie les conditions suivantes pour un même $\epsilon$ , égal à $1$ ou à $-1$ :

{\begin{aligned}&p^{3}\left[a_{0}(2Ab-3Ba)+a(3B_{0}a_{0}-2A_{0}b_{0})\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]\\&\quad +p^{2}q\left[a_{0}(4Ac-Bb-6Ca)+b(3B_{0}a_{0}-2A_{0}b_{0})\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]\\&\quad \quad +pq^{2}\left[a_{0}(6Ad+Bc-4Cb)+c(3B_{0}a_{0}-2A_{0}b_{0})\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]\\&\quad \quad \quad +q^{3}\left[a_{0}(3Bd-2Cc)+d(3B_{0}a_{0}-2A_{0}b_{0})\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]=0,\end{aligned}}

r={\frac {2Cq+Bp-pB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}{2A_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}}\quad {\text{et}}\quad s=-{\frac {2Ap+Bq+qB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}{2A_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}}

.

Cela permet de déterminer les 6 solutions $f$ . Remarquons que pour $(p,q)$ , à part l'éventuelle solution $(1,0)$ (qui correspond au cas où l'homographie est une fonction affine), on peut fixer q = 1, et la première équation (pour chacune des deux valeurs de $\epsilon$ ) est alors de degré 3 en p.

Démonstration

Les deux racines de $R$ étant $\alpha ,\beta$ , les racines de $P$ sont les solutions de

\left({\frac {x-\alpha }{x-\beta }}\right)^{3}=K

, où

K={\frac {b+3a\alpha }{b+3a\beta }}

.

En notant

h(x)=f^{-1}(x)={\frac {sx-r}{qx-p}}

,

$f$ est solution du problème si et seulement si :

$h(\alpha )=\alpha _{0}$ et $h(\beta )=\beta _{0}$ (à interversion près de $\alpha _{0}$ et $\beta _{0}$ ), puis
$K\left({\frac {p-\beta q}{p-\alpha q}}\right)^{3}=K_{0}$ .

Démonstration

$f$ est solution si et seulement si :

\left({\frac {z-\alpha _{0}}{z-\beta _{0}}}\right)^{3}=K_{0}\Leftrightarrow \left({\frac {f(z)-\alpha }{f(z)-\beta }}\right)^{3}=K

.

Or

{\frac {f(z)-\alpha }{f(z)-\beta }}={\frac {{\frac {pz-r}{qz-s}}-\alpha }{{\frac {pz-r}{qz-s}}-\beta }}={\frac {(p-\alpha q)z-(r-\alpha s)}{(p-\beta q)z-(r-\beta s)}}={\frac {z-{\frac {r-\alpha s}{p-\alpha q}}}{z-{\frac {r-\beta s}{p-\beta q}}}}\times {\frac {p-\alpha q}{p-\beta q}}={\frac {z-h(\alpha )}{z-h(\beta )}}\times {\frac {p-\alpha q}{p-\beta q}}

donc

\left({\frac {f(z)-\alpha }{f(z)-\beta }}\right)^{3}=K\Leftrightarrow \left({\frac {z-h(\alpha )}{z-h(\beta )}}\right)^{3}=K\left({\frac {p-\beta q}{p-\alpha q}}\right)^{3}

La première condition est réalisée si et seulement s'il existe $\epsilon \in \{-1,1\}$ tel que :

r={\frac {2Cq+Bp-pB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}{2A_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}}\quad {\text{et}}\quad s=-{\frac {2Ap+Bq+qB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}{2A_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}}

,

où $\delta ,\delta _{0}$ désignent les discriminants de $P,P_{0}$ .

Démonstration

h(\alpha )+h(\beta )={\frac {s\alpha -r}{q\alpha -p}}+{\frac {s\beta -r}{q\beta -p}}={\frac {(s\alpha -r)(q\beta -p)+(s\beta -r)(q\alpha -p)}{(q\alpha -p)(q\beta -p)}}={\frac {2sqC+(ps+qr)B+2rpA}{q^{2}C+pqB+p^{2}A}}

et de même,

h(\alpha )h(\beta )={\frac {s^{2}C+rsB+r^{2}A}{q^{2}C+pqB+p^{2}A}}

.

La première condition est donc réalisée si et seulement si le triplet suivant est proportionnel à $(A_{0},B_{0},C_{0})$ :

A'=q^{2}C+pqB+p^{2}A

B'=-[2sqC+(ps+qr)B+2rpA]

C'=s^{2}C+rsB+r^{2}A

,

ou encore, puisque $B'^{2}-4A'C'=(qr-ps)^{2}(B^{2}-4AC)=-3(qr-ps)^{2}\delta$ et $B_{0}^{2}-4A_{0}C_{0}=-3\delta _{0}$ , si et seulement s'il existe $\epsilon \in \{-1,1\}$ tel que

{\begin{cases}A'=A_{0}\epsilon (qr-ps){\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\quad (1)\\B'=B_{0}\epsilon (qr-ps){\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\quad (2).\end{cases}}

L'égalité $(2)$ se réécrit :

s(2Cq+Bp-p\epsilon B_{0}{\sqrt {\delta /\delta _{0}}})+r(2Ap+Bq+qB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}})=0

,

ou encore :

{\begin{cases}r=k(2Cq+Bp-pB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}})\\s=-k(2Ap+Bq+qB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}})\end{cases}}

pour une certaine constante $k$ , et l'on a alors :

qr-ps=qk(2Cq+Bp-p\epsilon B_{0}{\sqrt {\delta /\delta _{0}}})+pk(2Ap+Bq+qB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}})=2k(q^{2}C+pqB+p^{2}A)=2kA'

.

L'égalité $(1)$ devient ainsi $A'=A_{0}\epsilon (2kA'){\sqrt {\delta /\delta _{0}}}$ , soit :

k={\frac {1}{2A_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}}}

.

La seconde condition est alors équivalente à :

{\begin{aligned}&p^{3}\left[a_{0}(2Ab-3Ba)+a(3B_{0}a_{0}-2A_{0}b_{0})\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]\\&\quad +p^{2}q\left[a_{0}(4Ac-Bb-6Ca)+b(3B_{0}a_{0}-2A_{0}b_{0})\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]\\&\quad \quad +pq^{2}\left[a_{0}(6Ad+Bc-4Cb)+c(3B_{0}a_{0}-2A_{0}b_{0})\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]\\&\quad \quad \quad +q^{3}\left[a_{0}(3Bd-2Cc)+d(3B_{0}a_{0}-2A_{0}b_{0})\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]=0.\end{aligned}}

Démonstration

Calculons d'abord les coefficients dominant et sous-dominant $a',b'$ du polynôme $(qX-s)^{3}P(f(X))$ :

a'=ap^{3}+bp^{2}q+cpq^{2}+dq^{3}

{\begin{aligned}b'&=-r(3ap^{2}+2bpq+cq^{2})-s(bp^{2}+2cpq+3dq^{2})\\&={\frac {[-2Cq+p(-B+B_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}})](3ap^{2}+2bpq+cq^{2})+[2pA+q(B+B_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}})](bp^{2}+2cpq+3dq^{2})}{2\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}A_{0}}}\\&={\frac {p^{3}\left[2Ab-3Ba+3aB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]+p^{2}q\left[4Ac-Bb-6Ca+3bB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]}{2\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}A_{0}}}\\&\quad +{\frac {pq^{2}\left[6Ad+Bc-4Cb+3cB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]+q^{3}\left[3Bd-2Cc+3dB_{0}\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}\right]}{2\epsilon {\sqrt {\delta /\delta _{0}}}A_{0}}}.\end{aligned}}

Compte tenu de la première condition, la seconde peut s'écrire :

{\frac {b'+3a'\alpha }{b'+3a'\beta }}={\frac {b_{0}+3a_{0}\alpha }{b_{0}+3a_{0}\beta }}

,

soit, en simplifiant :

a_{0}b'-b_{0}a'=0

.

En remplaçant $a'$ et $b'$ , l'équation $a_{0}b'-b_{0}a'=0$ devient celle annoncée.

Exemples

Exemple 1

Considérons le polynôme :

P_{0}(X)=X^{3}-{\frac {1}{2}}X^{2}-{\frac {1}{2}}X+{\frac {1}{8}}

(qui — cf. Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Exemples de nombres algébriques de degré 3 — se trouve être le polynôme minimal de $\cos {\frac {\pi }{7}}$ , $\cos {\frac {3\pi }{7}}$ et $\cos {\frac {5\pi }{7}}$ , mais cela n'intervient pas ici).

Sa résolvante est

R_{0}(X)={\frac {7}{4}}X^{2}-{\frac {7}{8}}X+{\frac {7}{16}}

, de discriminant

(7/8)^{2}-4(7/4)(7/16)=-3(7/8)^{2}

donc le discriminant de $P_{0}$ est

\delta _{0}=(7/8)^{2}

.

D'après le théorème, les racines de $P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ sont les images par $z\mapsto {\frac {pz-r}{qz-s}}$ (avec $ps-rq\neq 0$ ) de celles de $P_{0}$ si et seulement si, pour un même $\epsilon$ , égal à $1$ ou à $-1$ :

{\begin{aligned}&p^{3}\left[2Ab-3Ba-a\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]\\&\quad +p^{2}q\left[4Ac-Bb-6Ca-b\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]\\&\quad \quad +pq^{2}\left[6Ad+Bc-4Cb-c\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]\\&\quad \quad \quad +q^{3}\left[3Bd-2Cc-d\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]=0,\end{aligned}}

r={\frac {2Cq+Bp+p\epsilon {\sqrt {\delta }}}{4\epsilon {\sqrt {\delta }}}}\quad {\text{et}}\quad s={\frac {-2Ap-Bq+q\epsilon {\sqrt {\delta }}}{4\epsilon {\sqrt {\delta }}}}

.

Exemple 2

Considérons le polynôme :

P_{0}(X)=X^{3}-{\frac {3}{4}}X-{\frac {1}{8}}

(qui — cf. Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Exemples de nombres algébriques de degré 3 — se trouve être le polynôme minimal de $\cos {\frac {\pi }{9}}$ , $\cos {\frac {5\pi }{9}}$ et $\cos {\frac {7\pi }{9}}$ , mais cela n'intervient pas ici).

Sa résolvante est

R_{0}(X)={\frac {9}{4}}X^{2}+{\frac {9}{8}}X+{\frac {9}{16}}

, de discriminant

(9/8)^{2}-4(9/4)(9/16)=-3(9/8)^{2}

donc le discriminant de $P_{0}$ est

\delta _{0}=(9/8)^{2}

.

D'après le théorème, les racines de $P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ sont les images par $z\mapsto {\frac {pz-r}{qz-s}}$ (avec $ps-rq\neq 0$ ) de celles de $P_{0}$ si et seulement si, pour un même $\epsilon$ , égal à $1$ ou à $-1$ :

{\begin{aligned}&p^{3}\left[2Ab-3Ba+3a\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]\\&\quad +p^{2}q\left[4Ac-Bb-6Ca+3b\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]\\&\quad \quad +pq^{2}\left[6Ad+Bc-4Cb+3c\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]\\&\quad \quad \quad +q^{3}\left[3Bd-2Cc+3d\epsilon {\sqrt {\delta }}\right]=0,\end{aligned}}

r={\frac {2Cq+Bp-p\epsilon {\sqrt {\delta }}}{4\epsilon {\sqrt {\delta }}}}\quad {\text{et}}\quad s={\frac {-2Ap-Bq-q\epsilon {\sqrt {\delta }}}{4\epsilon {\sqrt {\delta }}}}

.

Permutation circulaire des trois racines

Soit, à nouveau, un polynôme $P$ de degré 3 et de discriminant $\delta \neq 0$ , et dont la résolvante de Sotta $R(X)=AX^{2}+BX+C$ est de degré 2.

Théorème

Les deux homographies (réciproques l'une de l'autre)

z\mapsto {\frac {(B+\eta {\sqrt {\delta }})z+2C}{-2Az-B+\eta {\sqrt {\delta }}}},\quad \eta =\pm 1

permutent circulairement les trois racines de $P$ .

Deux démonstrations

Démonstration comme corollaire du théorème précédent

Les équations du théorème précédent deviennent, dans le cas $P=P_{0}$ :

{\begin{aligned}&a(3Ba-2Ab)p^{3}[\epsilon -1]+p^{2}q[a(4Ac-Bb-6Ca)+b(3Ba-2Ab)\epsilon ]\\&\quad +pq^{2}[a(6Ad+Bc-4Cb)+c(3Ba-2Ab)\epsilon ]+q^{3}[a(-2Cc+3Bd)+d(3Ba-2Ab)\epsilon ]=0,\end{aligned}}

r={\frac {2Cq+(1-\epsilon )Bp}{2A\epsilon }}\quad {\text{et}}\quad s=-{\frac {2Ap+(1+\epsilon )Bq}{2A\epsilon }}

en particulier, pour $\epsilon =1$ :

p^{2}q[-2A^{2}]+pq^{2}[-2AB]+q^{3}{\frac {\delta -B^{2}}{2}}=0,\quad r={\frac {Cq}{A}}\quad {\text{et}}\quad s=-{\frac {Ap+Bq}{A}}

.

La solution évidente $(p,q,r,s)=(1,0,0,-1)$ correspond à l'application identité et les deux autres (qui, vue la preuve du théorème précédent, permutent circulairement les trois racines) aux deux homographies annoncées.

Démonstration directe

Revenons à l'expression des trois racines sous la forme :

x_{k}={\frac {\alpha -\mathrm {j} ^{k}\beta \gamma }{1-\mathrm {j} ^{k}\gamma }}

et cherchons $f:z\mapsto {\frac {pz-r}{qz-s}}$ (avec $ps-rq\neq 0$ ) telle que $f(x_{k})=x_{k+1}$ ou $f(x_{k})=x_{k-1}$ pour $k\in \{-1,0,1\}$ , c'est-à-dire

{\frac {p\alpha -r}{q\alpha -s}}=\alpha ,\quad {\frac {p\beta -r}{q\beta -s}}=\beta ,\quad {\frac {p-q\beta }{p-q\alpha }}=\mathrm {j}

ou

\mathrm {j} ^{2}

.

Cette condition équivaut à

{\begin{cases}q\alpha ^{2}-(p+s)\alpha +r=0\\q\beta ^{2}-(p+s)\beta +r=0\\2Ap=q(-B-\eta {\sqrt {\delta }})\end{cases}}

c'est-à-dire (à proportionnalité près) :

q=A,\quad p+s=-B,\quad r=C,\quad p={\frac {-B-\eta {\sqrt {\delta }}}{2}}

,

ou encore (en multipliant par –2):

p=B+\eta {\sqrt {\delta }},\quad r=-2C,\quad q=-2A,\quad s=B-\eta {\sqrt {\delta }}

.

Exemple 3

Reprenons le polynôme

X^{3}-{\frac {1}{2}}X^{2}-{\frac {1}{2}}X+{\frac {1}{8}}

de l'exemple 1, pour lequel

A={\frac {7}{4}},\quad B=-{\frac {7}{8}},\quad C={\frac {7}{16}},\quad {\sqrt {\delta }}={\frac {7}{8}}

.

Les deux permutations circulaires de ses racines sont réalisées par les deux homographies

z\mapsto {\frac {1}{2-4z}},\quad z\mapsto {\frac {2z-1}{4z}}

.

On pouvait d'ailleurs les trouver directement : les trois racines $-\cos {\frac {2\pi }{7}},-\cos {\frac {4\pi }{7}},-\cos {\frac {8\pi }{7}}$ sont permutées circulairement par $z\mapsto 1-2z^{2}$ qui, sur ces trois nombres, coïncide avec l'homographie $z\mapsto 1-2{\frac {{\frac {1}{2}}z-{\frac {1}{8}}}{z-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{2-4z}}$ .

Exemple 4

Reprenons le polynôme

X^{3}-{\frac {3}{4}}X-{\frac {1}{8}}

de l'exemple 2, pour lequel

A={\frac {9}{4}},\quad B={\frac {9}{8}},\quad C={\frac {9}{16}},\quad {\sqrt {\delta }}={\frac {9}{8}}

.

Les deux permutations circulaires de ses racines sont réalisées par les deux homographies

z\mapsto {\frac {-2z-1}{4z}},\quad z\mapsto {\frac {-1}{4z+2}}

.

On pouvait d'ailleurs les trouver directement : les trois racines $-\cos {\frac {2\pi }{9}},-\cos {\frac {4\pi }{9}},-\cos {\frac {8\pi }{9}}$ sont permutées circulairement par $z\mapsto 1-2z^{2}$ qui, sur ces trois nombres, coïncide avec l'homographie $z\mapsto 1-2{\frac {{\frac {3}{4}}z+{\frac {1}{8}}}{z}}={\frac {-2z-1}{4z}}$ .

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