Fonctions affines et linéaires/Fonctions affines

Fonctions affines et linéaires

Définition

On dit qu'une quantité f(x) est fonction affine d'une autre quantité variable x

quand ces quantités sont liées par une relation de la forme :

f(x)=a\times x+b

Le coefficient a s’appelle coefficient directeur.

Le coefficient b s’appelle ordonnée à l'origine.

Si l'ordonnée à l'origine b est nulle (b=0), on dit que la fonction est linéaire.
Dans ce cas, f et x sont proportionnelles.

Remarque : La notation f(x) se lit "f de x". Elle indique que la quantité f dépend de x.

Exemple : Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 Euros par an, avec lequel la séance coûte 5 Euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 Euros. Notons n le nombre de séances, A le coût de n séances avec abonnement, et S le coût de n séances sans abonnement.

Exprimer A et S en fonction de n.
À quels types de fonctions correspondent ces formules ?

Solution

S=8\times n\ \ \ \ \ A=20+5\times n

La somme S est proportionnelle au nombre de séances n, et

S=8\times n

est une relation de proportionnalité. S est donc une fonction linéaire de n.

La somme A n’est pas proportionnelle au nombre de séances, et

A=20+5\times n

n'est pas une relation de proportionnalité, mais A est une fonction affine de n.

Remarque : D'après la définition, les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières. Toutes les propriétés ci-dessous s'appliquent donc également aux fonctions linéaires, avec des particularités supplémentaires que nous signalerons au fur et à mesure.

Définition

On appelle f(x) l'image du nombre x par la fonction f.

Exemple : Soit la fonction affine $f(x)=2\times x+3$ .

Donner les valeurs des coefficients a et b.
Calculer les images des nombres x = 0, x = 2 et x = -3 par f.

Solution

Les coefficients de l'équation $f(x)={2}\times {x}+3$ sont: $a=2$ et $b=3$

Pour calculer l'image des nombres ${\text{x = 0, x = 2 et x = -3}}$ en fonction de $f(x)={2}\times {x}+3$ il faut remplacer x par sa valeur dans l'équation, soit:

Pour x=0

f(x)={2}\times {0}+3=\mathbf {3}

Pour x=2

f(x)={2}\times {2}+3=4+3=\mathbf {7}

Pour x=-3

f(x)={2}\times {-3}+3=-6+3=\mathbf {-3}

Représentation graphique d'une fonction affine

Tableau de valeurs d'une fonction affine

Définition

Un tableau de valeurs contient dans une première ligne les valeurs de x,

et dans la seconde ligne les valeurs de f(x) correspondantes,

calculées avec la formule $f(x)=a\times x+b$

Exemple : Considérons la fonction affine $f(x)=2\times x+3$ .

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	0	1	2	3	4
f(x)

Solution :

Par exemple pour la troisième colonne : x = 1

donc

$f(x)=f(1)=2\times 1+3=2+3=5$ .

Cela donne au final :

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	5	7	9	11

Droite représentative

Pour représenter graphiquement une fonction à partir d’un tableau de valeurs,

on place en abscisses (horizontalement) les valeurs de x

et en ordonnées (verticalement) les valeurs de f(x).

Exemple : Pour la fonction affine $f(x)=2\times x+3$ . On a complété le tableau de valeurs :

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	5	7	9	11

On obtient donc le graphique suivant :

Définition

La représentation graphique d'une fonction affine $f(x)=a\times x+b$

est toujours une droite d'équation $y=a\times x+b$

Si la fonction est linéaire (b = 0), la droite passe par l'origine (situation de proportionnalité).

On comprend alors pourquoi on appelle le coefficient b : ordonnée à l'origine.

Calcul des coefficients a et b à partir de deux valeurs de la fonction

Deux valeurs suffisent à déterminer complètement une fonction affine, car "par deux points, il passe une unique droite".

Formule pour le coefficient directeur

Théorème

Considérons une fonction affine $f(x)=a\times x+b$ alors le coefficient directeur a vaut :

a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}

Exemple :

Pour la fonction affine $f(x)=2\times x+3$ , nous avons dans le tableau de valeurs

f(2) = 7 et f(3) = 9. Retrouvons a grâce à la formule, en prenant $x_{2}=3$ et $x_{1}=2$ .

a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(3)-f(2)}{3-2}}={\frac {9-7}{3-2}}={\frac {2}{1}}=2

Pour retrouver b, il suffit d’utiliser une valeur et résoudre une équation :

f(2)=7=2\times 2+b=7

donc

7-4=b=3

On pourrait également trouver a et b en résolvant le système d'équations :

${\begin{cases}a\times 2+b=7,&{\text{valeur pour x = 2}}\\a\times 3+b=9,&{\text{valeur pour x = 3}}\end{cases}}$

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