Le polynôme P n'a pas de racine rationnelle (car les seuls candidats possibles — les inverses des diviseurs de 8 — ne sont pas racines) donc il suffit de vérifier, par « résolution trigonométrique en cosinus » (chap. 6), que les trois nombres proposés (distincts) sont ses racines. On peut même, sans que ce polynôme soit donné à l'avance, le découvrir en remarquant que pour ${\displaystyle \theta \in \left\{{\frac {\pi }{9}},{\frac {5\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}}\right\}}$, d'après les « formules de délinéarisation »,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta }$.

Voir aussi les exemples de Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Méthodes d'obtention des polynômes.

Les polynômes ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$ n'ont pas de racine rationnelle donc il suffit, dans les deux cas, de montrer que les trois nombres proposés sont ses racines.

Posons ${\displaystyle \theta ={\frac {k\pi }{7}}}$, ${\displaystyle t=\tan \theta }$ et ${\displaystyle s={\frac {t}{\sqrt {7}}}}$. Si ${\displaystyle k\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3\}}$ alors ${\displaystyle t\neq 0}$ et

${\displaystyle 0=\tan 7\theta ={\frac {7t-35t^{3}+21t^{5}-t^{7}}{1-21t^{2}+35t^{4}-7t^{6}}}}$ (voir cet exercice) donc

${\displaystyle 0=t^{6}-21t^{4}+35t^{2}-7=Q(t^{2})}$,

ce qui prouve le premier point.

De plus,

${\displaystyle Q(t^{2})=(t^{3}+{\sqrt {7}}t^{2}-7t+{\sqrt {7}})(t^{3}-{\sqrt {7}}t^{2}-7t-{\sqrt {7}})=-7^{3}P(s)P(-s)}$.

Les six nombres ${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {k\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$ pour ${\displaystyle k\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3\}}$, sont donc les trois racines de ${\displaystyle P(X)}$ et leurs opposés, racines de ${\displaystyle P(-X)}$, et il reste à vérifier que ceux correspondant à ${\displaystyle k\in \{1,2,-3\}}$ sont les racines de ${\displaystyle P(X)}$.

On vérifie facilement que si ${\displaystyle P\left({\frac {t}{\sqrt {7}}}\right)=0}$ alors ${\displaystyle P\left({\frac {\frac {2t}{1-t^{2}}}{\sqrt {7}}}\right)=0}$. Les deux groupes de trois racines (un groupe pour ${\displaystyle P(X)}$ et l'autre pour ${\displaystyle P(-X)}$) se répartissent donc en :

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$, ${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {4\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}={\frac {\tan {\frac {-3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$

d'une part, et leurs opposées de l'autre. Pour déterminer lequel des deux groupes correspond à ${\displaystyle P(X)}$, il suffit d'examiner le signe du produit des trois racines : pour ${\displaystyle P(X)}$, le produit est ${\displaystyle -{\frac {1}{7}}<0}$, or

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}{\frac {\tan {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}{\frac {\tan {\frac {-3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}<0}$.

C'est donc bien ce premier groupe qui correspond à ${\displaystyle P(X)}$.

Preuve comme corollaire du premier point de la proposition précédente :

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}=-\cos {\frac {8\pi }{7}}}$, ${\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{7}}=-\cos {\frac {4\pi }{7}}}$ et ${\displaystyle \cos {\frac {5\pi }{7}}=-\cos {\frac {2\pi }{7}}}$.

Pour ${\displaystyle k\in \{1,2,4\}}$, d'après la formule du cosinus de l'angle double en fonction de la tangente,

${\displaystyle -\cos {\frac {2k\pi }{7}}={\frac {\tan ^{2}{\frac {k\pi }{7}}-1}{\tan ^{2}{\frac {k\pi }{7}}+1}}}$

donc

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {k\pi }{7}}={\frac {1-\cos {\frac {2k\pi }{7}}}{1+\cos {\frac {2k\pi }{7}}}}}$,

ce qui prouve que le polynôme minimal de ${\displaystyle -\cos {\frac {2k\pi }{7}}}$ est

${\displaystyle {\frac {1}{64}}\left[(1+X)^{3}-21(1+X)^{2}(1-X)+35(1+X)(1-X)^{2}-7(1-X)^{3}\right]=P(X)}$.

Vérification directe :

Une méthode moins performante (car elle suppose P donné à l'avance) consiste à vérifier que P n'a pas de racine rationnelle (car les seuls candidats possibles — les inverses des diviseurs de 8 — ne sont pas racines) et que pour ${\displaystyle \theta ={\frac {k\pi }{7}}}$ avec ${\displaystyle k\in \{1,3,5\}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\cos \theta )&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}\right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}+{\frac {1}{8}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{3\mathrm {i} \theta }+3\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+3\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{8}}-{\frac {\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \theta }+2+\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \theta }}{8}}-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{4}}+{\frac {1}{8}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }-1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{3\mathrm {i} \theta }}{8}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{8}}\left(1-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \theta }-\dots +\mathrm {e} ^{6\mathrm {i} \theta }\right)\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{8}}{\frac {1-\left(-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)^{7}}{1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{8}}{\frac {1-1}{1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\\&=0.\end{aligned}}}$

Voir aussi les exemples de Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Méthodes d'obtention des polynômes.

La fonction ${\displaystyle f:t\mapsto {\frac {at+b}{ct+d}}}$ s'écrit :

• si ${\displaystyle c=0}$ (donc ${\displaystyle ad\neq 0}$) : ${\displaystyle f(t)={\frac {a}{d}}t+{\frac {b}{d}}}$ ;
• si ${\displaystyle c\neq 0}$ : ${\displaystyle f(t)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}{\frac {1}{t+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}}$ (définie pour ${\displaystyle t\neq -{\frac {d}{c}}}$).

Dans les deux cas, c'est une composée d'applications élémentaires qui transforment tout irrationnel en un irrationnel en préservant, le cas échéant, son algébricité et son degré : translation par un rationnel, homothétie par un rationnel non nul, et fonction inverse.