Soit x₁, x₂, x₃, les trois racines de l'équation.

Nous savons que :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\displaystyle {\frac {c}{a}}.\end{cases}}}$

Si :

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=\alpha }$,

on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}3\alpha =\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}\\3\alpha ^{2}=\displaystyle {\frac {c}{a}}\end{cases}}}$

et l'on obtient bien :

${\displaystyle b\alpha =-3a\alpha ^{2}=-c}$.

a) ${\displaystyle p_{2}=p_{1}^{2}-2\pi =\left(-{\frac {q}{p}}\right)^{2}-2{\frac {r}{p}}={\frac {q^{2}-2rp}{p^{2}}}}$.

b) ${\displaystyle p_{3}=p_{1}^{3}-3\pi p_{1}=\left(-{\frac {q}{p}}\right)^{3}-3\left({\frac {r}{p}}\right)\left(-{\frac {q}{p}}\right)={\frac {3rpq-q^{3}}{p^{3}}}}$.

c)

${\displaystyle {\begin{aligned}p^{-n}\operatorname {Res} (Q,P)&=\left(ay_{1}^{3}+by_{1}^{2}+cy_{1}+d\right)\left(ay_{2}^{3}+by_{2}^{2}+cy_{2}+d\right)\\&=a\left[ay_{1}^{3}y_{2}^{3}+b(y_{1}^{3}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{3})+c(y_{1}^{3}y_{2}+y_{1}y_{2}^{3})+d(y_{1}^{3}+y_{2}^{3})\right]\\&\quad +b\left[by_{1}^{2}y_{2}^{2}+c(y_{1}^{2}y_{2}+y_{1}y_{2}^{2})+d(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})\right]\\&\quad +c\left[cy_{1}y_{2}+d(y_{1}+y_{2})\right]+d^{2}\\&=a\left[a\pi ^{3}+b\pi ^{2}p_{1}+c\pi p_{2}+dp_{3}\right]\\&\quad +b\left[b\pi ^{2}+c\pi p_{1}+dp_{2}\right]\\&\quad +c\left[c\pi +dp_{1}\right]+d^{2}\end{aligned}}}$

donc

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (Q,P)&=ap^{n-3}\left[ar^{3}-br^{2}q+c(rq^{2}-2r^{2}p)+d(3rqp-q^{3})\right]\\&\quad +bp^{n-2}\left[br^{2}-crq+d(q^{2}-2rp)\right]\\&\quad +cp^{n-1}\left[cr-dq\right]+p^{n}d^{2}.\end{aligned}}}$

On a :

${\displaystyle xy+xz+yz={\frac {(x+y+z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{2}}}$ et ${\displaystyle {\frac {1^{2}-7}{2}}=-3}$.

On a aussi :

${\displaystyle xyz={\frac {(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(x^{3}+y^{3}+z^{3})}{6}}}$ et ${\displaystyle {\frac {1^{3}-3\times 1\times 7+2\times 13}{6}}=1}$.

Nous voyons que le système que l’on devait résoudre est équivalent à :

${\displaystyle {\begin{cases}x+y+z=1\\xy+xz+yz=-3\\xyz=1.\end{cases}}}$

Par conséquent x, y et z sont les trois racines de l'équation :

${\displaystyle X^{3}-X^{2}-3X-1=0}$.

Cette dernière équation a pour racine évidente X = -1. On peut donc la factoriser. On obtient :

${\displaystyle (X+1)(X^{2}-2X-1)=0}$.

Les racines de :

${\displaystyle X^{2}-2X-1=0}$

étant :

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=1+{\sqrt {2}}\\X_{2}=1-{\sqrt {2}},\end{cases}}}$

les trois racines recherchées sont donc :

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=1+{\sqrt {2}}\\X_{2}=1-{\sqrt {2}}\\X_{3}=-1.\end{cases}}}$

Les solutions du système que l’on devait résoudre sont donc :

${\displaystyle {\begin{cases}x=1+{\sqrt {2}}\\y=1-{\sqrt {2}}\\z=-1\end{cases}}}$

ainsi que toutes les permutations possibles des trois valeurs des racines. Soit 6 triplets.

Si x₁, x₂, x₂ sont les trois racines de l'équation :

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}$

Nous savons que :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\displaystyle {\frac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=\displaystyle {-{\frac {d}{a}}}\\\end{cases}}}$

Si l'équation admet une racine double α et une racine simple β, on peut poser :

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\alpha ~}$

${\displaystyle x_{3}=\beta ~}$

Nous obtenons alors :

${\displaystyle {\begin{cases}2\alpha +\beta =\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}\\\alpha ^{2}+2\alpha \beta =\displaystyle {\frac {c}{a}}\\\alpha ^{2}\beta =\displaystyle {-{\frac {d}{a}}}\\\end{cases}}}$

1) Le résultant R_1-1 des deux premières équations par rapport à β est nul. Ce qui se traduit par :

${\displaystyle 3a\alpha ^{2}+2b\alpha +c=0~}$

Ce qui nous montre que α est racine de l'équation :

${\displaystyle \quad 3ax^{2}+2bx+c=0~}$

2) Le résultant R_1-1 de la première équation et de la troisième équation par rapport à β est nul. Ce qui se traduit par :

${\displaystyle 2a\alpha ^{3}+b\alpha ^{2}-d=0~}$

Ce qui nous montre que α est racine de l'équation :

${\displaystyle \quad 2ax^{3}+bx^{2}-d=0~}$

3) Le résultant R_1-1 de la deuxième équation et de la troisième équation par rapport à β est nul. Ce qui se traduit par :

${\displaystyle a\alpha ^{3}-c\alpha -2d=0~}$

Ce qui nous montre que α est racine de l'équation :

${\displaystyle \quad ax^{3}-cx-2d=0~}$

Nous avons :

${\displaystyle z_{1}^{3}+z_{2}^{3}+z_{3}^{3}=(-pz_{1}-q)+(-pz_{2}-q)+(-pz_{3}-q)=-p(z_{1}+z_{2}+z_{3})-3q=-p\times 0-3q=-3q~}$

Nous avons :

${\displaystyle z_{1}^{3}z_{2}^{3}+z_{1}^{3}z_{3}^{3}+z_{2}^{3}z_{3}^{3}=(-pz_{1}-q)(-pz_{2}-q)+(-pz_{1}-q)(-pz_{3}-q)+(-pz_{2}-q)(-pz_{3}-q)~}$

${\displaystyle =p^{2}(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3})+2pq(z_{1}+z_{2}+z_{3})+3q^{2}~}$

${\displaystyle =p^{2}\times p+2pq\times 0+3q^{2}=p^{3}+3q^{2}~}$

Nous avons :

${\displaystyle z_{1}^{3}\times z_{2}^{3}\times z_{3}^{3}=(z_{1}.z_{2}.z_{3})^{3}=(-q)^{3}=-q^{3}~}$

L'équation du troisième degré recherchée est donc :

${\displaystyle z^{3}+3qz^{2}+(p^{3}+3q^{2})z+q^{3}=0~}$

Soit x₁, x₂, x₃, les trois racines de l'équation. Nous devons avoir :

${\displaystyle x_{1}={\frac {x_{2}+x_{3}}{2}}\quad {\text{ou}}\quad x_{2}={\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}\quad {\text{ou}}\quad x_{3}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$,

ce qui est équivalent à :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}}$ est égal à l'une des trois racines,

ou encore :

${\displaystyle a\left(-{\frac {b}{3a}}\right)^{3}+b\left(-{\frac {b}{3a}}\right)^{2}+c\left(-{\frac {b}{3a}}\right)+d=0}$,

c'est-à-dire :

${\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d=0}$.

Les trois racines de l'équation sont les affixes des sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si elles sont de la forme :

${\displaystyle x_{k}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}+\gamma _{k}=-{\frac {b}{3a}}+\gamma _{k},\quad k\in \{0,1,2\}}$

où les ${\displaystyle \gamma _{k}}$ sont les trois racines cubiques d'un même nombre complexe ${\displaystyle z}$, c'est-à-dire si et seulement si :

${\displaystyle \exists z\in \mathbb {C} \quad aX^{3}+bX^{2}+cX+d=a\left[\left(X+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}-z\right]}$.

Une condition nécessaire et suffisante est donc (en développant et en identifiant les coefficients) :

${\displaystyle c={\frac {b^{2}}{3a}}}$.

1. ${\displaystyle S_{2,1,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}}$,
   ${\displaystyle 6=3\times 3-3\times 1}$.
2. ${\displaystyle S_{2,2,0}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}}$,
   ${\displaystyle 3=3^{2}-2\times 1\times 3}$.
3. ${\displaystyle S_{3,1,0}=\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-2S_{2,2,0}-5\sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-2\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{1}}$,
   ${\displaystyle 6=3^{2}\times 3-2\times 3^{2}-1\times 3}$.
4. ${\displaystyle S_{3,2,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-5\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{2}}$,
   ${\displaystyle 6=3\times 3^{2}-2\times 1\times 3^{2}-1\times 3}$.
5. ${\displaystyle S_{3,3,0}=\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}S_{2,1,0}-6\sigma _{3}^{2}=\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}^{2}}$,
   ${\displaystyle 3=3^{3}-3\times 3\times 1\times 3+3\times 1^{2}}$.
6. ${\displaystyle S_{4,1,0}=\sigma _{1}^{3}\sigma _{2}-3S_{3,2,0}-7\sigma _{3}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-12\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{1}^{3}\sigma _{2}-3\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}+5\sigma _{3}\sigma _{2}}$,
   ${\displaystyle 6=3^{3}\times 3-3\times 3\times 3^{2}-1\times 3^{2}+5\times 1\times 3}$.
7. ${\displaystyle S_{4,2,0}=\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}p_{3}-2S_{3,3,0}-8\sigma _{3}S_{2,1,0}-15\sigma _{3}^{2}}$
   ${\displaystyle =\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}(\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3})-2(\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}^{2})-8\sigma _{3}(\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3})-15\sigma _{3}^{2}}$
   ${\displaystyle =\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}^{3}+4\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{2}^{3}}$,
   ${\displaystyle 6=3^{2}\times 3^{2}-2\times 1\times 3^{3}+4\times 1\times 3\times 3-3\times 1^{2}-2\times 3^{3}}$.
8. ${\displaystyle S_{4,3,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}S_{3,1,0}-7\sigma _{3}S_{2,2,0}-12\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-\sigma _{3}\sigma _{2}^{2}+5\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}}$,
   ${\displaystyle 6=3\times 3^{3}-3\times 1\times 3^{2}\times 3-1\times 3^{2}+5\times 1^{2}\times 3}$.
9. ${\displaystyle S_{4,4,0}=\sigma _{2}^{4}-4\sigma _{3}S_{3,2,0}-6\sigma _{3}^{2}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-12\sigma _{3}^{2}\sigma _{2}=\sigma _{2}^{4}-4\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}+2\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}^{2}+4\sigma _{3}^{2}\sigma _{2}}$,
   ${\displaystyle 3=3^{4}-4\times 1\times 3\times 3^{2}+2\times 1^{2}\times 3^{2}+4\times 1^{2}\times 3}$.

Les polynômes symétriques élémentaires en les ${\displaystyle Y_{i}:=X_{i}-a}$ (que nous noterons ${\displaystyle \sigma '_{i}}$) se déduisent de ceux (notés ${\displaystyle \sigma _{i}}$) en ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ par identification des coefficients dans :

${\displaystyle Y^{3}-\sigma '_{1}Y^{2}+\sigma '_{2}Y-\sigma '_{3}=(Y+a)^{3}-\sigma _{1}(Y+a)^{2}+\sigma _{2}(Y+a)-\sigma _{3}}$,

ce qui donne :

${\displaystyle \sigma '_{1}=\sigma _{1}-3a,\quad \sigma '_{2}=\sigma _{2}-2a\sigma _{1}+3a^{2},\quad \sigma '_{3}=\sigma _{3}-a\sigma _{2}+a^{2}\sigma _{1}-a^{3}}$.

Un polynôme en ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ est symétrique et invariant par translation si c'est un polynôme symétrique en les ${\displaystyle X_{i}-{\frac {\sigma _{1}}{3}}}$, c'est-à-dire, d'après ce qui précède, un polynôme en

${\displaystyle \sigma _{2}-2{\frac {\sigma _{1}}{3}}\sigma _{1}+3\left({\frac {\sigma _{1}}{3}}\right)^{2}}$ et ${\displaystyle \sigma _{3}-{\frac {\sigma _{1}}{3}}\sigma _{2}+\left({\frac {\sigma _{1}}{3}}\right)^{2}\sigma _{1}-\left({\frac {\sigma _{1}}{3}}\right)^{3}}$,

égaux respectivement à

${\displaystyle \sigma _{2}-{\frac {\sigma _{1}^{2}}{3}}}$ et ${\displaystyle \sigma _{3}-{\frac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{3}}+{\frac {2\sigma _{1}^{3}}{27}}}$.

Il nous manquerait simplement une condition sur le produit des trois nombres ${\displaystyle x,y,z}$ pour construire une équation du troisième degré ayant pour racines ${\displaystyle x,y,z}$. Nous poserons arbitrairement ce produit égal à un paramètre complexe ${\displaystyle m}$. Nous avons alors :

${\displaystyle {\begin{cases}x+y+z=3\\xy+xz+yz=3\\xyz=m.\end{cases}}}$

Les nombres x, y , z sont alors les trois racines de l'équation :

${\displaystyle t^{3}-3t^{2}+3t-m=0}$,

qui se met sous la forme

${\displaystyle (t-1)^{3}+1-m=0}$.

Les triplets de nombres complexes répondant à la question sont donc :

${\displaystyle \left(1-{\sqrt[{3}]{m-1}},\quad 1-\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{m-1}},\quad 1-\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{m-1}}\right)}$

(${\displaystyle m}$ étant un paramètre complexe),

ainsi que les triplets obtenus en permutant de toutes les façons possibles les trois coordonnées.

Ces trois coordonnées sont réelles si et seulement si les trois nombres

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{m-1}},\quad \mathrm {j} {\sqrt[{3}]{m-1}},\quad \mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{m-1}}}$

le sont.

Puisque ${\displaystyle \mathrm {j} \notin \mathbb {R} }$, cela n'est possible que si ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{m-1}}=0}$, c'est-à-dire ${\displaystyle m=1}$.

Le triplet obtenu est alors (1, 1, 1).