1 - Le polynôme ${\displaystyle aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e}$ (avec ${\displaystyle a\neq 0}$) a deux racines doubles si et seulement s'il est le carré d'un polynôme du second degré, à produit près par une constante, c'est-à-dire s'il existe ${\displaystyle S,P}$ tels que

${\displaystyle aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e=a(X^{2}-SX+P)^{2}}$,

ce qui (en développant) s'écrit :

${\displaystyle {\begin{cases}S&=-{\frac {b}{2a}}\\S^{2}+2P&={\frac {c}{a}}\\PS&=-{\frac {d}{2a}}\\P^{2}&={\frac {e}{a}}.\end{cases}}}$

Premier cas : ${\displaystyle b\neq 0}$.

Compte tenu de la première équation, la troisième se réécrit alors :

${\displaystyle P={\frac {d}{b}}}$.

En reportant dans les deuxième et quatrième équations les valeurs de S et P données par la première et la troisième, on obtient les conditions recherchées (conditions d'existence d'une solution ${\displaystyle (S,P)}$ du système des quatre équations) :

${\displaystyle {\begin{cases}\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+2{\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}\\\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {e}{a}}\end{cases}}}$

qui après simplification sont équivalentes à :

${\displaystyle {\begin{cases}b^{3}+8a^{2}d=4abc\\b^{2}=4ae.\end{cases}}}$

En portant b² de la deuxième équation dans la première, ceci équivaut à :

${\displaystyle {\begin{cases}4abe+8a^{2}d=4abc\\b^{2}=4ae.\end{cases}}}$

Après simplification de la première équation par 4a, les conditions sont finalement :

${\displaystyle {\begin{cases}2ad=b(c-e)\\b^{2}=4ae.\end{cases}}}$

Second cas : ${\displaystyle b=0}$.

Le système initial

${\displaystyle {\begin{cases}S&=-{\frac {b}{2a}}\\S^{2}+2P&={\frac {c}{a}}\\PS&=-{\frac {d}{2a}}\\P^{2}&={\frac {e}{a}}\end{cases}}}$

est alors équivalent à

${\displaystyle {\begin{cases}S&=0\\2P&={\frac {c}{a}}\\0&=-{\frac {d}{2a}}\\P^{2}&={\frac {e}{a}}\end{cases}}}$

donc les conditions recherchées (conditions d'existence d'une solution ${\displaystyle (S,P)}$) sont :

${\displaystyle {\begin{cases}d&=0\\c^{2}&=4ae.\end{cases}}}$

2 - D'après la question précédente, α et β sont alors racines :

• si ${\displaystyle b\neq 0}$ : de ${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{2a}}x+{\frac {d}{b}}=0}$ (ou encore : ${\displaystyle 2abx^{2}+b^{2}x+2ad=0}$) ;
• si ${\displaystyle b=0}$ : de ${\displaystyle x^{2}+{\frac {c}{2a}}=0}$.

Les racines ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ de l'équation doivent vérifier (à renumérotation près) ${\displaystyle x_{4}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}}$, ce qui équivaut à :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}}$ est égal à l'une des quatre racines,

ou encore :

${\displaystyle a\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+b\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+c\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+d\left(-{\frac {b}{4a}}\right)+e=0}$,

c'est-à-dire :

${\displaystyle -3b^{4}+16ab^{2}c-64a^{2}bd+256a^{3}e=0}$.

Première approche

Notons ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ les membres de gauche de ces trois relations, et ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ leurs polynômes symétriques élémentaires. Les membres de droite sont alors : ${\displaystyle b_{1}={\frac {a_{2}+a_{3}}{2}}}$, ${\displaystyle b_{2}={\frac {a_{1}+a_{3}}{2}}}$ et ${\displaystyle b_{3}={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}}$ donc l'une des trois relations est vérifiée si et seulement si l'un des ${\displaystyle a_{i}}$ est égal à la moyenne arithmétique des deux autres, c'est-à-dire (cf. exercice 2-6 de la leçon sur l'équation du troisième degré) si et seulement si

${\displaystyle -2\sigma _{1}^{3}+9\sigma _{1}\sigma _{2}-27\sigma _{3}=0}$.

Or les ${\displaystyle \sigma _{i}}$ sont des polynômes symétriques en les ${\displaystyle x_{i}}$ donc (cf. cours) s'expriment en fonction des coefficients de l'équation de départ, via les ${\displaystyle S_{i,j,k,l}}$ (polynômes symétriques en les ${\displaystyle x_{i}}$ introduits lors de la preuve de ce théorème, et dont certains sont calculés dans l'exercice 2-5 ci-dessous) :

• ${\displaystyle \sigma _{1}=S_{1,1,0,0}={\frac {c}{a}}}$ ;
• ${\displaystyle \sigma _{2}=S_{2,1,1,0}=\left(-{\frac {b}{a}}\right)\left(-{\frac {d}{a}}\right)-4{\frac {e}{a}}={\frac {bd-4ae}{a^{2}}}}$ ;
• ${\displaystyle \sigma _{3}=S_{3,1,1,1}+S_{2,2,2,0}}$, avec
  • ${\displaystyle S_{3,1,1,1}={\frac {e}{a}}S_{2,0,0,0}={\frac {e}{a}}\left(\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-2{\frac {c}{a}}\right)={\frac {e(b^{2}-2ac)}{a^{3}}}}$,
  • ${\displaystyle S_{2,2,2,0}=\left(-{\frac {d}{a}}\right)^{2}-2{\frac {e}{a}}{\frac {c}{a}}={\frac {d^{2}-2ec}{a^{2}}}}$

  donc

  ${\displaystyle \sigma _{3}={\frac {e(b^{2}-2ac)+a(d^{2}-2ec)}{a^{3}}}={\frac {b^{2}e-4ace+ad^{2}}{a^{3}}}}$.

Enfin :

${\displaystyle -2\sigma _{1}^{3}+9\sigma _{1}\sigma _{2}-27\sigma _{3}={\frac {-2c^{3}+9c(bd-4ae)-27(b^{2}e-4ace+ad^{2})}{a^{3}}}=-{\frac {\Psi }{a^{3}}}}$

est bien nul si et seulement si ${\displaystyle \Psi }$ l'est.

Deuxième approche

Notons ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$ les membres de droite des trois relations, et ${\displaystyle \sigma '_{1},\sigma '_{2},\sigma '_{3}}$ leurs polynômes symétriques élémentaires. Les membres de gauche sont alors : ${\displaystyle a_{1}=b_{2}+b_{3}-b_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}=b_{1}+b_{3}-b_{2}}$ et ${\displaystyle a_{3}=b_{1}+b_{2}-b_{3}}$ donc, à nouveau, l'une des trois relations est vérifiée si et seulement si l'un des ${\displaystyle b_{i}}$ est égal à la moyenne arithmétique des deux autres. Puisque ${\displaystyle a_{i}=\sigma _{1}-2b_{i}}$, cette condition est équivalente à « l'un des ${\displaystyle a_{i}}$ est égal à la moyenne arithmétique des deux autres ». On peut d'ailleurs remarquer que

${\displaystyle -2{\sigma '_{1}}^{3}+9\sigma '_{1}\sigma '_{2}-27\sigma '_{3}=-{\frac {1}{8}}\left(-2\sigma _{1}^{3}+9\sigma _{1}\sigma _{2}-27\sigma _{3}\right)}$,

car le polynôme ${\displaystyle -2(X_{1}+X_{2}+X_{3})^{3}+9(X_{1}+X_{2}+X_{3})(X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3})-27X_{1}X_{2}X_{3}}$ est non seulement homogène mais invariant par translation (cf. exercice 2-9 de la leçon sur l'équation du troisième degré).

Remarques

On pouvait calculer les ${\displaystyle \sigma '_{i}}$ directement, mais on peut aussi les déduire des ${\displaystyle \sigma _{i}}$ : les ${\displaystyle b_{i}}$ sont les racines de

${\displaystyle (\sigma _{1}-2b)^{3}-\sigma _{1}(\sigma _{1}-2b)^{2}+\sigma _{2}(\sigma _{1}-2b)-\sigma _{3}=0}$

qui équivaut à

${\displaystyle b^{3}-\sigma _{1}b^{2}+{\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}}{4}}b+{\frac {\sigma _{3}-\sigma _{1}\sigma _{2}}{8}}=0}$

donc

${\displaystyle \sigma '_{1}=\sigma _{1}={\frac {c}{a}}}$,

${\displaystyle \sigma '_{2}={\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}}{4}}={\frac {c^{2}+bd-4ae}{4a^{2}}}}$,

${\displaystyle \sigma '_{3}={\frac {\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{3}}{8}}={\frac {bcd-b^{2}e-ad^{2}}{8a^{3}}}}$.

Les polynômes symétriques élémentaires ${\displaystyle \sigma ''_{i}}$ associés aux ${\displaystyle y_{i}:=-2b_{i}=a_{i}-\sigma _{1}}$ sont

${\displaystyle \sigma ''_{1}=-2\sigma '_{1},\quad \sigma ''_{2}=4\sigma '_{2},\quad \sigma ''_{3}=-8\sigma '_{3}}$.

Lorsque ${\displaystyle (a,b,c,d,e)=(1,0,p,q,r)}$, on a donc :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=p,&\sigma _{2}&=-4r,&\sigma _{3}&=q^{2}-4pr,\\\sigma ''_{1}&=-2p,&\sigma ''_{2}&=p^{2}-4r,&\sigma ''_{3}&=q^{2}.\end{aligned}}}$

Ces cas particuliers interviennent dans la méthode de Lagrange (chapitre 7) pour les ${\displaystyle \sigma ''_{i}}$, et dans sa variante (exercice 7-3) pour les ${\displaystyle \sigma _{i}}$.

On a vu dans le cours comment exprimer les sommes de Newton ${\displaystyle p_{k}=a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}}$ en fonction des polynômes symétriques élémentaires ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}}$ en ${\displaystyle a,b,c,d}$, en particulier :

${\displaystyle p_{1}=\sigma _{1}}$ ;

${\displaystyle p_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$ ;

${\displaystyle p_{4}=\sigma _{1}p_{3}-\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{1}-4\sigma _{4}}$ ;

${\displaystyle p_{5}=\sigma _{1}p_{4}-\sigma _{2}p_{3}+\sigma _{3}p_{2}-\sigma _{4}p_{1}}$ ;

${\displaystyle p_{8}=\sigma _{1}p_{7}-\sigma _{2}p_{6}+\sigma _{3}p_{5}-\sigma _{4}p_{4}}$.

Si ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=0}$, ces relations se simplifient en :

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle p_{4}=-4\sigma _{4}}$

${\displaystyle p_{5}=0}$

${\displaystyle p_{8}=-\sigma _{4}p_{4}}$,

ce qui donne bien :

${\displaystyle p_{4}^{2}=-4\sigma _{4}p_{4}=4p_{8}}$.

1. ${\displaystyle S_{2,1,0,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}}$,
   ${\displaystyle 12=4\times 6-3\times 4}$.
2. ${\displaystyle S_{2,1,1,0}=\sigma _{1}\sigma _{3}-4\sigma _{4}}$,
   ${\displaystyle 12=4\times 4-4\times 1}$.
3. ${\displaystyle S_{2,2,0,0}=\sigma _{2}^{2}-2S_{2,1,1,0}-6\sigma _{4}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{3}+2\sigma _{4}}$,
   ${\displaystyle 6=6^{2}-2\times 4\times 4+2\times 1}$.
4. ${\displaystyle S_{2,2,1,0}=\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}\sigma _{1}}$,
   ${\displaystyle 12=6\times 4-3\times 1\times 4}$.
5. ${\displaystyle S_{2,2,2,0}=\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{2}}$,
   ${\displaystyle 4=4^{2}-2\times 1\times 6}$.
6. ${\displaystyle S_{3,2,1,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}p_{2}-12S_{2,2,2,0}-2\sigma _{4}\sigma _{2}}$
   ${\displaystyle =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-12(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{2})-2\sigma _{4}\sigma _{2}}$
   ${\displaystyle =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}\sigma _{1}^{2}+28\sigma _{4}\sigma _{2}-12\sigma _{3}^{2}}$,
   ${\displaystyle 24=4\times 6\times 4-3\times 1\times 4^{2}+28\times 1\times 6-12\times 4^{2}}$.
7. ${\displaystyle S_{3,2,2,0}=\sigma _{1}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}S_{2,1,0,0}-7\sigma _{4}\sigma _{3}=\sigma _{1}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{4}\sigma _{3}}$,
   ${\displaystyle 12=4\times 4^{2}-2\times 1\times 4\times 6-1\times 4}$.
8. ${\displaystyle S_{3,3,0,0}=\sigma _{2}^{3}-3S_{3,2,1,0}-6\sigma _{4}p_{2}-6S_{2,2,2,0}-15\sigma _{4}\sigma _{2}}$
   ${\displaystyle =\sigma _{2}^{3}-3(\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}-3\sigma _{4}\sigma _{1}^{2}+28\sigma _{4}\sigma _{2}-12\sigma _{3}^{2})-6\sigma _{4}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-6(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{2})-15\sigma _{4}\sigma _{2}}$
   ${\displaystyle =\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+3\sigma _{4}\sigma _{1}^{2}-72\sigma _{4}\sigma _{2}+30\sigma _{3}^{2}-3\sigma _{4}\sigma _{2}}$,
   ${\displaystyle 6=6^{3}-3\times 4\times 6\times 4+3\times 1\times 4^{2}-72\times 1\times 6+30\times 4^{2}-3\times 1\times 6}$.
9. ${\displaystyle S_{3,3,1,0}=\sigma _{2}^{2}\sigma _{3}-2S_{3,2,2,0}-5\sigma _{4}S_{2,1,0,0}-12\sigma _{4}\sigma _{3}}$
   ${\displaystyle =\sigma _{2}^{2}\sigma _{3}-2(\sigma _{1}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{4}\sigma _{3})-5\sigma _{4}(\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3})-12\sigma _{4}\sigma _{3}}$
   ${\displaystyle =\sigma _{2}^{2}\sigma _{3}-2\sigma _{1}\sigma _{3}^{2}-\sigma _{4}\sigma _{1}\sigma _{2}+5\sigma _{4}\sigma _{3}}$,
   ${\displaystyle 12=6^{2}\times 4-2\times 4\times 4^{2}-1\times 4\times 6+5\times 1\times 4}$.
10. ${\displaystyle S_{3,3,2,0}=\sigma _{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}S_{2,2,0,0}-5\sigma _{4}S_{2,1,1,0}-12\sigma _{4}^{2}}$
    ${\displaystyle =\sigma _{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{3}+2\sigma _{4})-5\sigma _{4}(\sigma _{1}\sigma _{3}-4\sigma _{4})-12\sigma _{4}^{2}}$
    ${\displaystyle =\sigma _{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{4}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{4}\sigma _{1}\sigma _{3}+4\sigma _{4}^{2}}$,
    ${\displaystyle 12=6\times 4^{2}-2\times 1\times 6^{2}-1\times 4\times 4+4\times 1^{2}}$.