Vecteur de Witt

Soit O un anneau de valuation discrète complet, de corps résiduel k. Alors on a l'une des situations suivantes :

• si k est de caractéristique zéro, alors O s'identifie à l'anneau k[[T]] des séries formelles à coefficients dans k ;
• si k est de caractéristique p > 0, alors il y a deux possibilités :
  • ou bien O s'identifie encore à l'anneau des séries formelles à coefficients dans k ;
  • ou bien O est un anneau de caractéristique zéro, dont p engendre l'idéal maximal, qu'on appelle l’anneau des vecteurs de Witt sur k noté W[k].

Dans ce dernier cas, on peut fixer un ensemble de représentants de k et tout élément de W[k] s'écrit de manière unique comme une série

${\displaystyle a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

où les ${\displaystyle a_{i}}$ appartiennent à l'ensemble des représentants choisis.

En ce sens, on peut voir les vecteurs de Witt comme des séries formelles, ou des suites infinies d'éléments d'un anneau, sur lesquelles on a défini les opérations d'addition et de multiplication.

Étant donné p un nombre premier, tout nombre p-adique x peut s'écrire de manière unique comme une somme convergente

${\displaystyle x=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

où les coefficients ${\displaystyle a_{i}}$ sont des éléments de {0, 1, … , p – 1}, ou de manière générale de toute représentation du corps fini ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

La question naturelle qui se pose est la suivante : si on ajoute ou multiplie deux nombres p-adiques en utilisant une telle écriture, quels sont les coefficients du résultat ? Il s'avère que l'addition et la multiplication de vecteurs de Witt p-adiques donne la réponse.

Soit p un nombre premier. On note ${\displaystyle x}$ la suite de variables ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots )}$ et pour chaque entier positif n le polynôme de Witt :

${\displaystyle W_{n}(x)=W_{n}(x_{0},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\cdots +p^{n}x_{n}.}$

Il existe deux polynômes à coefficients entiers

${\displaystyle P_{n}(x,y)=P_{n}(x_{0},\ldots ,x_{n},y_{0},\ldots ,y_{n})}$

${\displaystyle S_{n}(x,y)=S_{n}(x_{0},\ldots ,x_{n},y_{0},\ldots ,y_{n})}$

tels que l'on a les relations suivantes modulo pⁿ⁺¹ :

${\displaystyle W_{n}(P_{0}(x,y),\ldots ,P_{n}(x,y))=W_{n}(x)W_{n}(y),}$

${\displaystyle W_{n}(S_{0}(x,y),\ldots ,S_{n}(x,y))=W_{n}(x)+W_{n}(y).}$

En particulier, on a immédiatement :

${\displaystyle S_{0}=x_{0}+y_{0},}$

${\displaystyle S_{1}=x_{1}+y_{1}+{\frac {(x_{0}+y_{0})^{p}-x_{0}^{p}-y_{0}^{p}}{p}}.}$

On appelle anneau des vecteurs de Witt sur un corps k l'ensemble ${\displaystyle W[k]\simeq k^{\mathbb {N} }}$ muni des lois de composition suivantes :

${\displaystyle a+b=(a_{0},\ldots )+(b_{0},\ldots )=(S_{0}(a,b),\ldots ,S_{n}(a,b),\ldots ),}$

${\displaystyle a\times b=(a_{0},\ldots )\times (b_{0},\ldots )=(P_{0}(a,b),\ldots ,P_{n}(a,b),\ldots ).}$

L'anneau de Witt est un anneau commutatif de caractéristique zéro, c'est en particulier un λ-anneau (en).

En se limitant aux polynômes de degré borné par n, on construit l’anneau des vecteurs de Witt tronqués W_n[k]. L'anneau complet s'obtient comme limite :

${\displaystyle W[k]=\lim _{\stackrel {\longleftarrow }{n}}W_{n}[k]}$

et les projections ${\displaystyle W[k]\to W_{n}[k]}$ sont des homomorphismes d'anneaux.

(Pour éviter les confusions, les objets relatifs aux gros vecteurs de Witt seront notés en gras.)

Dans les années 1960, Ernst Witt et Pierre Cartier réalisent que les polynômes de Witt définis ci-dessus, dits « p-adiques » (parfois « p-typiques »), font partie d'une famille générale et qu'on peut les utiliser pour définir un endofoncteur de la catégorie des anneaux commutatifs ${\displaystyle \mathbf {W}$ :\mathrm {CRing} \to \mathrm {CRing} } , dont les vecteurs de Witt p-adiques sont un quotient[2]. Le foncteur ${\displaystyle \mathbf {W} }$ est appelé foncteur des gros vecteurs de Witt (parfois foncteur des « vecteurs de Witt généralisés »).

Le foncteur ${\displaystyle \mathbf {W} :A\mapsto \mathbf {W} [A]}$ est représentable par l'anneau de polynômes ${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{i}]=\mathbb {Z} [X_{1},X_{2},\ldots ]}$ et isomorphe à l'anneau des fonctions symétriques (en) qui est une algèbre de Hopf. Le caractère fonctoriel de cette construction permet de l'appliquer notamment aux faisceaux sur une variété algébrique. Le foncteur W possède un adjoint à gauche qui est le foncteur d'oubli de la structure de λ-anneau.

Le spectre de ${\displaystyle \mathbb {Z} [X_{i}]}$ est un schéma de groupe appelé schéma de Witt.

Les polynômes correspondant aux Gros vecteur de Witt sont définis comme il suit:

${\displaystyle \mathbf {W} _{n}(X)=\mathbf {W} _{n}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})={\underset {d\vert n}{\sum }}dX_{d}^{\frac {n}{d}}}$

Il est clair que pour ${\displaystyle n=p^{k}}$ alors:

${\displaystyle \mathbf {W} _{n}(X)={\underset {d\vert n}{\sum }}dX_{d}^{\frac {n}{d}}}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{p^{k}}(X)={\underset {d\vert p^{k}}{\sum }}dX_{d}^{\frac {n}{d}}}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{p^{k}}(X)=\sum _{i=0}^{k}p^{i}X_{p^{i}}^{p^{k-i}}}$

Et après réindexation on retrouve les polynômes de Witt « p-adiques ».

On définit de la même façon ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}(X,Y)=\mathbf {S} _{n}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n})}$ et ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(X,Y)=\mathbf {P} _{n}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n})}$.

Leur existence et unicité est assuré par l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes à coéfficients rationnels (que l'on peut noter ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ bien qu'il n'y ait pas de notation classique pour cette famille de polynôme) telle que:

${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbf {W} (X))=\mathbf {M} (\mathbf {W} _{1}(X),\mathbf {W} _{2}(X),\ldots ,\mathbf {W} _{n}(X))=X_{n}}$

Cette suite de polynômes n'a malheureusement pas de formule explicite générale connue mais une formule de récurrence est facile à trouver:

${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(X)={\frac {1}{n}}(X_{n}-\sum _{d\vert n,d\neq n}d\mathbf {M} _{d}(X)^{\frac {n}{d}})}$

On a alors une formule pour ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}(X,Y)}$ et ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(X,Y)}$:

${\displaystyle \mathbf {S} _{n}(X,Y)=\mathbf {M} _{n}(\mathbf {W} (X)+\mathbf {W} (Y))=\mathbf {M} _{n}(\mathbf {W} _{1}(X)+\mathbf {W} _{1}(Y),\mathbf {W} _{2}(X)+\mathbf {W} _{2}(Y),\ldots ,\mathbf {W} _{n}(X)+\mathbf {W} _{n}(Y))}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(X,Y)=\mathbf {M} _{n}(\mathbf {W} (X)\times \mathbf {W} (Y))=\mathbf {M} _{n}(\mathbf {W} _{1}(X)\times \mathbf {W} _{1}(Y),\mathbf {W} _{2}(X)\times \mathbf {W} _{2}(Y),\ldots ,\mathbf {W} _{n}(X)\times \mathbf {W} _{n}(Y))}$

Le polynôme ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(X)}$ étant à coéfficients rationnels et en général non-entiers, les polynômes ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}(X,Y)}$ et ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(X,Y)}$ sont a priori à coéfficients rationnels. On peut cependant montrer que ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}(X,Y)}$ et ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(X,Y)}$ sont bien à coéfficients entiers.