Théorème de Bernoulli

Pour un écoulement[1]

• incompressible (la masse volumique reste constante),
• d'un fluide parfait (les effets visqueux sont négligeables, tout comme les pertes de charge).

Alors, en régime stationnaire, si l'on néglige les transferts d'énergie sous forme de chaleur, on vérifie l'égalité suivante[2] :

Sur une même ligne du courant, la quantité de Bernoulli se conserve, soit :

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+g\,z+{\frac {p}{\rho }}=\mathrm {constante} }$

où :

p est la pression en un point (en Pa ou N/m²) ;

ρ est la masse volumique en un point (en kg/m³) ;

v est la vitesse du fluide en un point (en m/s) ;

g est l'accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s²) ;

z est l'altitude du point considéré (en m).

La constante dépend de la ligne de courant considérée.

Si de plus l'écoulement est irrotationnel (le rotationnel de la vitesse du fluide est nul, ce qui implique un écoulement non tourbillonnaire et un champ de vitesse dérivant d'un potentiel), la quantité de Bernoulli se conserve dans l'intégralité du fluide. La constante est donc la même partout dans le fluide mais dépend des caractéristiques de ce dernier, de l'écoulement etc.

La constante intervenant dans le second membre de l'équation n'est pas universelle mais propre à l'écoulement, il s'agit d'une constante le long de tout le domaine fluide (écoulement irrotationnel), appelée charge.

Cette équation traduit en fait le bilan de l'énergie le long d'une ligne de courant :

• ${\displaystyle e_{c}={\frac {{\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}}{V}}={\frac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}}$ est la densité volumique d'énergie cinétique (énergie cinétique par unité de volume, m étant la masse du volume V de fluide) ;
• ${\displaystyle e_{z}={\frac {m\,g\,z}{V}}=\rho \,g\,z}$ est la densité volumique d'énergie potentielle de gravité ;
• ${\displaystyle e_{p}={\frac {p\,V}{V}}=p}$ est la densité volumique d'énergie due au travail des forces de pression.

La loi de bilan s'écrit donc

${\displaystyle e_{c}+e_{z}+e_{p}=\mathrm {constante} }$

soit

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}+\rho \,g\,z+p=\mathrm {constante} }$

ce qui amène à l'équation de Bernouilli en divisant cette égalité par ρ.

On remarque que, formulée ainsi, la constante n'est plus la charge, mais la pression totale, et que chaque terme est bien homogène à une pression.

Il existe d'autres formulations du théorème de Bernoulli applicables dans des contextes plus généraux.

• Pour des fluides compressibles :

Lorsque les effets de compressibilité dans un fluide ne sont plus négligeables (vitesse des particules de fluide comparable à la vitesse du son dans le fluide), il devient nécessaire d'apporter une correction au terme caractérisant l'énergie potentielle élastique du fluide. Dans le cas idéal d'un gaz parfait et d'un processus adiabatique, on a :

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+g\,z+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\mathrm {constante} }$[3]

où γ est l’indice adiabatique défini comme le rapport des capacités calorifiques du fluide : C_p/C_v.

• Formulation thermodynamique :

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+g\,z+h=\mathrm {constante} }$[4]

où h désigne l'enthalpie spécifique (i.e. par unité de masse). h = u+p/ρ, où u désigne l'énergie interne spécifique du fluide.

• échange d'énergie :

Dans le cas d'un écoulement d'un point A vers un point B avec échange d'énergie (présence d'une pompe ou d'une turbine), l'expression devient :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\rho \,v_{A}^{2}+p_{A}+\rho \,g\,z_{A}+{\frac {P}{Q_{V}}}={\frac {1}{2}}\,\rho \,v_{B}^{2}+p_{B}+\rho \,g\,z_{B}}$

où Q_V représente le débit volumique du fluide (en mètres cubes par seconde) et P représente la puissance (en watts) de la machine. On a P > 0 dans le cas d'une pompe (la puissance est reçue par le fluide) et P < 0 dans le cas d'une turbine (la puissance est fournie par le fluide).

Équation de Bernoulli pour les fluides incompressibles

L'équation de Bernoulli pour les fluides incompressibles peut être démontrée par intégration des équations d'Euler du mouvement, qui dans les hypothèses du théorème se ramènent à l'équation de Navier-Stokes. On peut également appliquer le principe de conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant, en négligeant les effets thermiques, de viscosité, de compressibilité. C'est ce second point de vue que l'on suit ici. Tube de courant du fluide. On indique les pressions (p), altitudes (h), vitesses (v), longueurs (s) et sections (A). Soit le système fermé contenu à l'instant t entre x1 et x2 et à t + Δt entre x1 + v1 Δt et x2 + v2 Δt. Le fluide est incompressible, la masse Δm contenue entre x1 et x1 + v1 Δt doit être identique à la masse contenue entre x2 et x2 + v2 Δt. Ce que l'on peut ramener ici à la conservation du débit massique : ${\displaystyle \Delta t\;v_{1}\,A_{1}\,\rho =\Delta t\;v_{2}\,A_{2}\,\rho }$. Toutes les forces qui s'exercent (forces pressantes et poids) sont conservatives (il n'y a pas d'effet visqueux). On peut donc appliquer le théorème de conservation de l'énergie mécanique au système : ${\displaystyle \Delta E_{pp}+\Delta E_{k}=W}$ où ${\displaystyle \Delta E_{k}=\Delta m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})/2}$ est la variation d'énergie cinétique du système. ${\displaystyle \Delta E_{pp}=\Delta m\;g\,h_{2}-\Delta m\;g\,h_{1}}$ est la variation d'énergie potentielle de pesanteur du système. ${\displaystyle W=p_{1}A_{1}\,(v_{1}\Delta t)-p_{2}A_{2}\,(v_{2}\Delta t)}$ est le travail des forces de pressions. Soit : ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\Delta m\;v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\,\Delta m\;v_{1}^{2}+\Delta m\;g\,h_{2}-\Delta m\;g\,h_{1}=p_{1}\,A_{1}\,(v_{1}\,\Delta t)-p_{2}\,A_{2}\,(v_{2}\,\Delta t)}$ D'où, en divisant par Δm : ${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}+g\,h_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}+g\,h_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$ Et donc : ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+g\,h+{\frac {p}{\rho }}=C}$ On peut remarquer que la démonstration est faite dans le contexte particulier d'un écoulement obéissant à la géométrie de la figure. Cependant, pour un écoulement quelconque en régime permanent, on pourra toujours définir au voisinage d'une ligne de courant une section sur laquelle la vitesse est homogène, et raisonner comme précédemment.

Équation de Bernoulli pour les fluides compressibles

La démonstration est identique à celles pour les fluides incompressibles : elle s'appuie sur la conservation du débit et de l'énergie. Mais on doit prendre en compte dans la variation d'énergie du système la variation d'énergie interne du fluide entre t et t + Δt. La conservation de l'énergie appliquée au système devient alors : ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\Delta m\,v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\,\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,g\,h_{2}-\Delta m\,g\,h_{1}+\Delta m\,u_{2}-\Delta m\,u_{1}=p_{1}\,A_{1}\,(v_{1}\,\Delta t)-p_{2}\,A_{2}\,(v_{2}\,\Delta t)}$ D'où : ${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}+g\,h_{1}+u_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}+g\,h_{2}+u_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$ Si on note l'enthalpie spécifique ω, dans le cas d'un gaz parfait, on vérifie γ = ω/u. Comme ω = u + p/ρ, on a ω = γ/γ – 1p/ρ. Donc dans ce cas, ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+g\,h+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}=\mathrm {constante} .}$

Dans un écoulement où la variation d'énergie potentielle peut être négligée, si l'on écrit l’équation de Bernoulli en deux points le long d’une ligne de courant (le deuxième point étant loin du corps), on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}+p={\frac {1}{2}}\,\rho \,v_{\infty }^{2}+p_{\infty }}$.

D'où l'on peut tirer :

${\displaystyle p-p_{\infty }={\frac {1}{2}}\,\rho \,v_{\infty }^{2}-{\frac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}}$.

En divisant par la pression dynamique de l'écoulement ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\rho \,v_{\infty }^{2}}$, on obtient :

${\displaystyle {p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\,\rho \,v_{\infty }^{2}}=1-{\frac {v^{2}}{v_{\infty }^{2}}}}$.

Si à présent on pose :

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\,\rho _{\infty }\,v_{\infty }^{2}}\quad {\text{ et }}\quad C_{v}={\frac {v}{v_{\infty }}}}$

C_p étant le coefficient de pression et C_v étant le coefficient de vitesse, l'équation de Bernoulli se ramène à :

${\displaystyle C_{p}=1-C_{v}^{2}}$

Cette égalité très simple constitue la variante adimensionnelle de l’équation de Bernoulli.

Contrairement à ce que la relative complexité de leur libellé peut laisser penser, les coefficients adimensionnels de pression et de vitesse C_p et C_v sont extrêmement intuitifs et représentent bien les sous ou surpressions et les sous ou survitesses qui intéressent les mécaniciens des fluides ; ceci explique pourquoi ils apparaissent dans tous les résultats d’essais en souffleries[5].

La variante adimensionnelle de l'équation de Bernoulli s'applique en chaque point d'un écoulement (en dehors de la couche limite), donc en un seul point, ce qui peut sembler contradictoire avec le fait que l'équation classique de Bernoulli met en relation les caractéristiques de deux points sur la même ligne de courant. L'explication de cette rupture apparente de logique est que les C_p et C_v intègrent dans leur libellé la référence à certaines caractéristiques des points à l'infini amont (suffisamment à l'écart du corps). Il n'y a donc là qu'une libéralité apparente.

• À vitesse nulle (v = 0), on retrouve la loi de l'hydrostatique.
• Effet Venturi :
  • Supposons maintenant que la vitesse ne soit pas nulle, mais que l'on reste toujours à la même altitude (z constant).
  • Si un liquide s'écoule dans une canalisation, alors comme il est incompressible, son débit (volume transitant à travers une surface par unité de temps) est constant. Si la canalisation s'élargit, alors la vitesse diminue (puisque le débit est le produit de la vitesse par la section, les deux varient à l'inverse). Le théorème de Bernoulli nous indique alors que la pression augmente. À l'inverse, si la canalisation se rétrécit, le fluide accélère et sa pression diminue. On qualifie ce dispositif expérimental de tube de Venturi.
  • Ce résultat est assez peu intuitif car on s'attendrait à ce que la pression augmente lorsque la section diminue.

• Effet Magnus :
  • Si maintenant la conduite reste de section constante mais que l'on met un obstacle à l'intérieur ; l'obstacle diminue la section, on a donc le même effet. Si cet obstacle est un cylindre tournant, d'axe perpendiculaire à l'axe de la canalisation, alors le frottement accélère le fluide d'un côté et le ralentit de l'autre. On a donc une diminution de pression d'un côté et une augmentation de l'autre, le cylindre subit une force : c'est l'effet Magnus (l'on considère souvent l'effet Magnus dans l'air, qui est un fluide compressible, mais le principe général reste le même).
  • Si la canalisation a une section constante, et qu'elle ne présente pas d'obstacle, alors la vitesse est constante. Si l'altitude varie, alors l'équation de Bernoulli nous indique que la pression varie à l'opposé de l'altitude.
  • On peut évaluer alors la pression dynamique : ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}}$.

• Tube de Pitot  :
  • Cet appareil de mesure permet d'évaluer la vitesse d'écoulement d'un fluide en mesurant la différence de pression entre deux points A et B de l'écoulement joint par une ligne de courant. Au point A, le fluide est supposé être à vitesse (quasi) nulle, on cherche la vitesse en B. Les points étant sensiblement à la même altitude, on peut appliquer le théorème de Bernoulli sous sa forme usuelle entre A et B.

La première formulation du théorème de Bernoulli apparaît dans Hydrodynamica - De viribus et motibus fluidorum commentarii de Daniel Bernoulli (première édition en 1738)[6]. Pour d'Alembert, ce texte est l'œuvre fondatrice de l'hydrodynamique en tant que discipline physique moderne[7].

Il est alors formulé comme un bilan macroscopique global et une méthode de calcul, dans le cadre de la résolution d'un problème technique : la détermination de la durée de vidange des vases munis d'un orifice.

La justification réside dans l'égalité de la montée potentielle et de la descente actuelle[8]. Il s'agit d'une transposition aux fluides de la conservation des forces vives, déjà connue en mécanique, et qui est en fait l'ancêtre du principe de conservation de l'énergie dans le domaine de la physique classique.

C'est seulement en 1755, avec les travaux d'Euler[9], que le théorème apparaît sous la forme d'un bilan local plus proche des formulations contemporaines.

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Principe de Bernoulli » (voir la liste des auteurs).