Série d'Eisenstein

G₄

G₆

G₈

Pour tout entier k ≥ 2, la série d'Eisenstein G_2k est la fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive définie par

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}$

C'est une forme modulaire de poids 2k, propriété incluant que pour tous entiers relatifs a, b, c, d tels que ad – bc = 1,

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).}$

Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en G₄ et G₆ grâce à la relation de récurrence suivante (qui fait intervenir des coefficients binomiaux) : ${\displaystyle {\rm {soit}}\quad d_{k}=(2k+3)k!G_{2k+4},\quad {\rm {alors}}\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}.}$

Les d_k apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass : ${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.}$

Posons ${\displaystyle q={\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\tau }}$. Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont : ${\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}$ où les coefficients de Fourier c_2k sont donnés par : ${\displaystyle c_{2k}={\frac {(2\pi {\rm {i}})^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}},}$ les B_n désignant les nombres de Bernoulli, ζ la fonction zêta de Riemann et σ_p(n) la somme des puissances p-ièmes des diviseurs de n. En particulier, ${\displaystyle G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\quad {\rm {et}}\quad G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).}$ La somme sur q se resomme en une série de Lambert : ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$ pour tout nombre complexe q de module strictement inférieur à 1.

Ramanujan a donné de nombreuses identités intéressantes entre les tout premiers termes : pour ${\displaystyle L(q):=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}},\quad M(q):=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\quad {\rm {et}}\quad N(q):=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}},}$ on a ${\displaystyle q{\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}q}}={\frac {L^{2}-M}{12}},\quad q{\frac {{\rm {d}}M}{{\rm {d}}q}}={\frac {LM-N}{3}}\quad {\rm {et}}\quad q{\frac {{\rm {d}}N}{{\rm {d}}q}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}.}$

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